3．2.1 几类不同增长的函数模型学习目标1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．2．能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数模型的广泛应用．自学导引1．三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同2.指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较(1)对于指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于y＝ax的增长快于y＝xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于y＝logax的增长慢于y＝xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax96时，y10且a≠1)的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数y＝b·ax＋k作为模型的应用问题很常见，称这类函数为指数函数模型．以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关，在现实生活和科学技术领域，诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳－14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型．变式迁移2 2004年全国人口普查时，我国人口数为13亿，如果从2004年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到18亿？
解 设大约经过n年，我国人口由2004年的13亿增加到18亿，则13×(1＋1%)n＝18.∴1.01n＝，即n＝log1.01＝＝≈＝32.8837≈33(年)即从2004年开始，大约经过33年，我国人口总数可达18亿． 三、对数函数模型的应用例3 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？分析 由题目可获取以下主要信息：①已知飞行速度是耗氧量的函数；②第(1)问知v，求Q；第(2)问知Q，求v.解答本题的关键是给变量赋值．解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.点评 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．变式迁移3 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系v＝2000ln.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s?解 由12000＝2000ln，即6＝ln，1＋＝e6，利用计算器算得≈402.即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．2．常见的函数模型及增长特点
(1)直线y＝kx＋b(k>0)模型，其增长特点是直线上升；(2)对数y＝logax(a>1)模型，其增长缓慢；(3)指数y＝ax(a>1)模型，其增长迅速．一、选择题1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )答案 D2．能使不等式log2x
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