考点一考点二考点三理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章3.23.2.1
已知函数y＝2x，y＝log2x，y＝x2(其中x>0).问题1：它们的单调性如何？提示：都是增函数．问题2：分别求x＝1,2,8所对应的函数值．提示：2,4,256；0,1,3；1,4,64.
问题3：从上面几个数字看，它们增长速度相同吗？提示：不相同，y＝2x增长最快，并且增长的速度越来越快．
1.在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a＞1)和y＝xα(α>0)都是，但不同，且不在同一个“档次”上．2.在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度，会超过并远远大于y＝xα(α＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会．3.对于函数y=ax(a＞1)，y=logax(a＞1)，y=xα(α＞0)，存在一个x0，使得当x＞x0时，有.增函数增长速度越来越快越来越慢logax＜xα＜ax
指数函数、对数函数、幂函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xα(α>0)在(0，＋∞)上的单调性递增递增递增增长速度越来越快越来越慢越来越快(α>1)图象的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变平缓随α的取值而有所不同
[例1]甲、乙两城市现有人口总数为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)对两城市人口增长情况作出分析．提示：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430．[思路点拨]分别根据增长率和增长量，建立函数模型求解．
[精解详析](1)1年后甲城市人口总数为：y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后甲城市人口总数为：y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后甲城市人口总数为：y甲＝100×(1＋1.2%)3；……x年后甲城市人口总数y甲＝100×(1＋1.2%)x，乙城市人口总数y乙＝100＋1.3x.
(2)10年、20年、30年后甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如下表：10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113126139
(3)甲、乙两城市人口都是逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．
[一点通]本例是一个有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可以用下面的公式，即y＝N(1＋p)x来表示．解决平均增长率的问题，常用到这个函数模型．
1．某种细菌在培养过程中，每15min分裂一次(由1个分裂成2个).这种细菌由1个分裂成4096个需经过()A．12hB．4hC．3hD．2h
答案：C
2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
[思路点拨]由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可．
[一点通]解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对数运算性质或换底公式求解．
3．某研究小组在一项实验中获得一组关于y、t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()
A．y＝2tB．y＝2t2C．y＝t3D．y＝log2t解析：由图知该函数可能是y＝log2t.答案：D
4．(2011·湖南高考)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则可得lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106.同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10000倍．答案：610000
[例3](12分)函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)
微信/支付宝扫码支付