3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质、并体会增长快慢;理解直线上升,对数增长,指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题,并进行数学建模解决实际问题(重点).预习教材P95-P101,完成下面问题:知识点 三种函数模型的性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度越来越快,会远远大于y=xn(n>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度越来越慢②存在一个x0,当x>x0时,有ax>xn>logax【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.( )(2)函数y=x衰减的速度越来越慢.( )(3)不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.( )提示 (1)√ 因为一次函数的图象是直线,所以当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值.(2)√ 由函数y=x的图象可知其衰减的速度越来越慢.(3)× 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.题型一 几类函数模型的增长差异【例1】 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A.y=2017x B.y=x2017C.y=log2017x D.y=2017x非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。
(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________.解析 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快,故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案 (1)A (2)y2规律方法 常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.【训练1】 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )A.y=ex B.y=100lnxC.y=x100 D.y=100·2x解析 指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且a值越大,增长速度越快,应选A.答案 A典例迁移 题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(1),f(2)