【成才之路】2014高中数学3-2-1几类不同增长的函数模型能力强化提升新人教A版必修1一、选择题1.函数y1=2x与y2=x2,当x>0时,图象的交点个数是( )A.0 B.1C.2D.3[答案] C2.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A.y=50(x∈Z)B.y=1000xC.y=0.4·2x-1D.y=·ex[答案] D[解析] 指数函数增长速度最快,且e>2,因而ex增长最快.3.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,……现有2个这样的细胞,分裂x次后得到的细胞个数y为( )A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=2xD.y=2x[答案] A[解析] y=2×2x=2x+1.4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数[答案] D[解析] 由对数函数图象特征即可得到答案.5.如果寄信时的收费方式如下:每封信不超过20g付邮费0.80元,超过20g而不超过40g付邮费1.60元,依此类推,每增加20g需增加邮0.80元(信的质量在100g以内).某人所寄一封信的质量为72.5g,那么他应付邮费( )A.3.20元B.2.90元C.2.80元D.2.40元[答案] A
[解析] 由题意,得20×31,n>0,那么当x足够大时,ax,xn,logax的大小关系是________________.[答案] ax>xn>logax三、解答题13.甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到如下两图.
甲调查表明:每个鱼池平均产量直线上升,从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条.乙调查表明:全县鱼池总个数直线下降,由第1年30个减少到第6个10个.请你根据提供的信息说明:(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数;(2)哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由.[解析] (1)由题意,得图1中的直线经过(1,1)和(6,2)两点,从而求得其解析式为y1=0.2x+0.8,图2中的直线经过(1,30)和(6,10)两点.从而求得其解析式为y2=-4x+34.则当x=2时,y1=0.2×2+0.8=1.2,y2=-4×2+34=26,y1×y2=1.2×26=31.2,所以第2年全县有鱼池26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.(2)设当第m年时,出产量为n,那么n=y1·y2=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m2+3.6m+27.2=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25,所以当m=2时,n有最大值为31.2,即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万条.14.试比较函数y=x200,y=ex,y=lgx的增长差异.[解析] 增长最慢的是y=lgx,由图象(图略)可知随着x的增大,它几乎平行于x轴;当x较小时,y=x200要比y=ex增长得快;当x较大(如x>1000)时,y=ex要比y=x200增长得快.15.某学校为了实现100万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y随生源利润x的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?[解析] 借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).观察图象可知,在区间[5,100]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求.16.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x
的图象如下图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).[解析] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当xh(x)>g(x);当1h(x);当eh(x);当af(x);当bf(x);当cg(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).