新人教A版必修1 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型 练习题

【创新设计】2014届高考数学3-2-1几类不同增长的函数模型1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　)．A．y＝100xB．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x解析　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x增长速度最快．答案　D2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　)．A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y3＞y1解析　在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3.答案　B3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到(　　)．A．300只B．400只C．500只D．600只解析　由x＝1时，y＝100，得a＝100把x＝7代入，得y＝100log28＝300.答案　A4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．解析　由得∴y＝－2×0.5x＋2，所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．答案　1.75万件5．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a，那么广告效应D＝a－A，当A＝________时，取得最大广告效应，此时收入R＝________.解析　D＝a－A＝－(－)2＋， ∴当＝，即A＝时，D最大．此时R＝a＝.答案　　6．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？解　设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a＜0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)．7．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是(　　)．A．增加7.84%B．减少7.84%C．减少9.5%D．不增不减解析　设该商品原价为a，四年后价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.9216a，所以(1－0.9216)a＝0.0784a＝7.84%a，即比原来减少了7.84%.答案　B8．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线在右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的(　　)． 解析　设AB＝a，则y＝a2－x2＝－x2＋a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方，故选C.答案　C9．以下是三个变量y1、y2、y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中关于x呈指数函数变化的函数是________．解析　从题表格可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案　y110．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．解析　设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，∴x＝－1.答案　－111．北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)．(2)当每枚纪念章销售价格为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值．解　(1)依题意，y＝∴y＝此函数的定义域为(7,40)．(2)y＝若7＜x≤20，则当x＝16时，ymax＝32400(元)． 若20＜x＜40，则当x＝时，ymax＝27225(元)．综上可得当每枚纪念章销售价格为16元时，该特许专营店获得的利润最大，为32400元．12．(创新拓展)已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有aL水，tmin后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L?解　由题意，得ae－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝①设再过tmin后桶1中的水有则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝②将①式平方得e－10n＝③比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.即再过5min后桶1中的水只有L.