3.2.1几类不同增长的函数模型(第一课时)教学设计说明一.内容和内容解析本节课是高中数学(必修1人教A版)第三章中《几类不同增长的函数模型》的第一课时.比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义,是本章的一个重要内容.对不同函数模型在增长差异上的研究,教科书围绕函数模型的应用这一核心,结合具体实例展开讨论,让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点.教科书运用选自投资方案和制定奖励方案两个问题,引出函数模型增长情况比较的问题,接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异,说明了不同函数类型增长的含义。在前两章,教材安排了函数的性质以及基本初等函数,本节内容是几类不同增长的函数模型,在此之后是研究函数模型的应用,因此本节内容的研究从内容上看,是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用,从思想方法上讲是对研究函数的方法的进一步巩固和深化,同时为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础。因此本节内容,既是第二章基本初等函数知识的延续,又是函数模型应用学习的基础,起着承前启后的作用.本节内容所涉及的数学思想方法主要包括:由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想;在解决问题过程中函数与方程的思想。二.目标和目标解析本节课的教学任务为:(1)创设一个投资方案的问题情景,让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质,体会直线上升和指数爆炸;(2)创设一个选择奖励模型的问题情景,让学生在观察和探究的过程中,体会对数增长模型的特点;(3)通过建立和运用函数基本模型,让学生初步体验数学建模的基本思想,发展学生的创新意识和数学应用意识.结合以上任务分析,本节课的教学目标应确定为:(1)利用函数图象及数据表格,并借助信息技术,能比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长,认识它们的增长差异;通过实例的解决体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义;(2)恰当运用函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法),表达实际问题中的函数关系,认识函数问题的研究方法(观察—归纳—猜想—证明);
(3)经历建立和运用函数基本模型的过程,初步体验数学建模的基本思想,能够体会数学的作用与价值,初步形成分析问题、解决问题的能力.这部分内容教科书在处理上,以函数模型的应用这一内容为主线,以几个重要的函数模型为对象,将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来,使之成为一个系统的整体.因此教学中应当注意贯彻教科书的这个意图,让学生经历函数模型应用处理的完整过程,同时在过程中认识不同增长的差异。结合以上分析本节课的教学重点为:将实际问题转化为数学模型,在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义.三.教学问题诊断学生在前面已学过的函数概念、指数函数、对数函数、幂函数,但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂,这就使得学生在研究过程中可能遇到困难.因此本节课教学难点确定为:如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异,以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题.为了解决这一难点,教科书分三个步骤,创设问题情景,并通过恰点恰时而又层层递进的问题串,让学生在不断的观察、思考和探究的过程中,弄清几个函数间的增长差异,并培养分析问题解决问题的能力.第一步,教科书先创设了一个选择投资方案的问题情景,在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示,然后提出了三个思考问题,让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸,另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析.第二步,教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情景,让学生在观察和探究的过程中,体会到对数增长模型的特点.第三步,教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题.先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象,从中体会二者的差异;再通过两个探究问题,让学生对幂函数和对数函数的增长差异,以及三种函数的衰减情况进行自主探究.这样的安排内容上层次分明,可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动,对典型的问题,多视点宽角度地进行了研究.对学生分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动.由于本节内容比较丰富,而且研究问题的方法和途径也比较多,所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题。四.教法特点及效果分析教科书提供了两个值得研究的例题,在备课中感到内涵丰富、寓意深刻、层次不同!例1是先建立函数模型,然后体会增长差异;例2是提供了函数模型,要求按限制条件作出选择.因此例1的教学设计,注重让学生经历感性体验过程:首先通过设计问题,引发学生讨论交流,经历建立函数模型的过程,然后倡导学生合作探究、动手实践,
从列表、作图入手,对三种函数模型进行比较、分析,感受直线上升和指数爆炸的意义.在此基础上教师引导学生分析增加量,尽可能利用现代信息技术来呈现函数的动态变化过程,帮助学生体会它们的增长差异.而例2的教学设计,则更重视引导学生进行理性分析,从观察、归纳,上升到猜想、证明,然后适当拓展延伸,设计开放性问题,既检测学生对几类不同增长模型差异的掌握情况,又激发学生的创新意识与应用意识,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.在课堂教学设计的过程中,围绕三维教学目标,力争体现下列“六个特色”:(1)立意高,以学生的终身发展为本设计教学,重视对学生进行德育渗透;通过激发学生的学习热情,培养学生学习兴趣.(2)活动多,注意发挥学生学习的主动性,重视学生合作交流.整堂课呈现出讨论多、交流多、合作多、发现多、成果多.(3)基础实,本节课的落脚点是函数知识与方法,从函数的三种表示方法入手,加深对函数的图象与性质尤其是增长的差异性的认识.(4)思维活,重视学生的思维活动的开展,鼓励学生发散思维,多角度观察、分析和解决问题,逐步提高思维的品质.(5)实践强,让学生积极参与数学建模的实践活动,亲身体验数学应用、发现和创造的历程.(6)有创新,设计问题具有开放性与挑战性,注重方案的最优化,鼓励学生创新,倡导“学以致用,用以致优”!通过本节课的学习,学生不仅能够正确认识几种不同函数模型的增长差异,而且更重要的是可以系统经历研究解决实际问题的全过程,并在过程中进一步加深对函数的概念的认识,理解不同函数增长的差异,学会研究问题的方式方法,培养了学生的应用意识,提高学生解决问题的能力.