河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第3章函数的应用-3.示范教案（2.1几类不同增长的函数模型第1课时）教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.重点难点教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点:应用函数模型解决简单问题.课时安排2课时教学过程第1课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105m,g(20)=2m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增长差异.推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.
⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.①总价等于单价与数量的积.②面积等于边长的平方.③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象.⑤引导学生回忆学过的函数模型.⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.⑦让学生自己比较并体会.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x123456y=x123456y=x2149162536y=(1+5%)x1.051.011.161.221.281.34它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.图3-2-1-1图3-2-1-2图3-2-1-3⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=kax+b(指数型).⑥从表格和图象得出它们都为增函数.⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=logax+b,我们把它叫做对数型函数.应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*
)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象(3-2-1-4).图3-2-1-4由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210180360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.针对上例可以思考下面问题：
①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？③由此得出怎样结论.答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数.②让我们体会每天回报数增长变化.③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y1=50＋0.4x(x≥0)，y2=0.6x(x≥0).(2)图象如图(3-2-1-5)所示.图3-2-1-5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.另解：当y1=200时有0.4x＋50=200,∴x1=375；当y2=200时有0.6x=200,x2=.显然375>,∴选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：
学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象(图3-2-1-6).图3-2-1-6观察函数的图象，在区间［10,1000］上，模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间［10,1000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此,当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间［10,1000］上递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间［10,1000］上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55
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