06八月2021(必修1)第三章函数与方程3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型
你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”这四句的意思就是:有若干只鸡和兔,共有35个头,94只脚,那么鸡和兔各有多少只?引入
大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”他假设砍去每只鸡和兔一半的脚,则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.孙子的大胆解法:这样,“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是兔子数.鸡数就是:35-12=23.即兔子数是:47-35=12;引入
有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.教科书第三章的章头图:(澳大利亚兔子数“爆炸”)
可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.教科书第三章的章头图:(澳大利亚兔子数“爆炸”)
一般而言,在理想条件(食物或养料充足,空间条件充裕,气候适宜,没有敌害等)下,种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线;在有限环境(空间有限,食物有限,有捕食者存在等)中,种群增长到一定程度后不增长,曲线呈“S”型.可用指数函数描述一个种群的前期增长,用对数函数描述后期增长的.教科书第三章的章头图:(澳大利亚兔子数“爆炸”)
1.数学模型:就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.2.数学模型方法:是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.基本概念
例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元.方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元.方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍.请问你会选择哪种投资方案?范例讲解
例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元,方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元,方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍,解:设第x天所得回报是y元常函数正比例函数指数型函数进行描述范例讲解
三种方案所得回报的增长情况:范例讲解
三种方案累计的回报数:结论:投资8天以下(不含8天),应选择第一种投资方案;投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资11天(含11天)以上,则应选择第三种投资方案.范例讲解
例2.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励模型:其中哪个模型能符合公司的要求?范例讲解
分别做出函数的图象.范例讲解
(1)确定奖金总数不超过5万的模型:①通过函数图像直观的观察②利用函数的值域来确定结论:符合要求。分析步骤:(2)计算按模型奖励时,奖金是否不超过利润的25%范例讲解
令作出函数的图象:范例讲解
由图象可知它是递减的,因此即所以,当x∈[10,1000]时,说明按模型奖励,奖金不会超过利润的25%。综上所述,模型确实能符合公司要求。范例讲解
一次函数y=kx+b(k>0)、指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logax(a>1)、幂函数y=xn(n>0)在(0,+∞)上都是增函数.为便于研究它们的增长差异,不妨以一次函数y=2x+1、指数函数y=1.5x、对数函数y=log1.5x、幂函数y=x1.5例,观察在(0,+∞)上的图像变化趋势及增长差异情况.一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异
一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异
一次函数y=kx+b(k>0)、指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logax(a>1)、幂函数y=xn(n>0)在(0,+∞)上都是增函数.一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异
通过图像和表格,容易看出,随着x的增大,各、函数值的变化及相应增量规律为:⑴直线型均匀上升,增量恒定;⑵指数型急剧上升,增量快速增大;⑶对数型缓慢上升,增量逐渐减少;⑷幂函数型虽上升较快,但随着x的不断增大上升趋势远不如指数型,几乎有些微不足道,其增量缓慢递增.一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异
函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述.学习了常数函数、一次函数、指数函数、幂函数、对数函数的图像变化趋势及增量差异:直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解了它们的增长差异性.课堂小结
再见!谢谢大家!知识是宝库,而实践是开启宝库的钥匙.世间无所谓天才,它仅是刻苦加勤奋.