几种不同类型的增长函数

几类不同增长的函数模型 教学目标：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性． 教学难点：建立实际问题的函数模型教学重点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。 引例：一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算当n=20时它们的厚度解：纸对折n次的厚度：f(n)=（cm），n块砖的厚度：g(n)=10n(cm)f（20）≈105m,g(20)=2m 问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示成x的函数问题②正方形的边长为x，面积为y，把y表示成x的函数问题③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示成x的函数（1）分别用表格，图象表示上诉函数(2)指出它们属于哪种函数类型（3）讨论它们的单调性（4）比较它们的增长差异 ①Y=x;②③X123456Y=x1234561491625361.051.101.161.221.281.34 它们分别属于：y=kx+b（直线型）从表格和图像来看它们都是增函数在不同区间增长速度不同，随着x的增大，的增长速度越来越快另外还有与对数函数有关的函数模型，形如叫做对数型函数 1、三种重要的增长模型直线上升：y=kx+b;当k＞0时为增函数，当k=0时为常数函数，当k＜0时为减函数。指数爆炸：,N为基础数值，p为增长率，y为经过x次增长的数值，0＜p＜1时，1+p＞1为增长问题。-1＜p＜0时，0＜1+p＜为减少问题。对数增长：，当a＞1时为增函数，0＜a＜1时为减函数。 例题：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？ 思考投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。 分析我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=0.4×2x-1(x∈N*) x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4 图112-1从每天的回报量来看：第1~4天，方案一最多：第5~8天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？ 累积回报表天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8结论投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。 某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在某个时刻这种细菌的个数为200个，按照每小时成倍增长，如下表：时间（小时）0123细菌数（个）2004008001600问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？练习 解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有x小时0123y（个）2004008001600点ABCD200＝200×20，400＝200×21，800＝200×22，1600＝200×23．此实验开始后5小时，即x＝5时，细菌数为200×25＝6400（个）．从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y＝200·2x（x∈N）． 课堂小结解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行：第一步：阅读理解，认真审题第二步：引进数学符号，建立数学模型第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果第四步：再转移成具体问题作出解答 实际问题读懂问题将问题抽象化数学模型解决问题基础过程关键目的几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数没有增长直线上升指数爆炸 练习：P116作业：P1261、2