3.2.2函数模型的应用实例
目标要求1.进一步感受函数与现实世界的联系,强化用数学解决实际问题的意识.2.进一步尝试用函数描述实际问题,通过研究函数的性质解决实际问题.3.了解数学建模的过程.
热点提示学习本节时要通过具体实例,感悟如何在实际问题中建立函数模型,并通过一定的练习,掌握在实际问题中建立函数模型的步骤.由于熟练掌握常用函数,是在实际问题中建立函数模型的前提,因此在学习本节内容之前,应回顾一下常见函数图象、性质、变化规律,达到准确把握它们的特性.
2.函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题;(2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.3.应用函数模型解决问题的基本过程
1.小明的父亲饭后出去散步,从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后,用20分钟返回家里,下面图形中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系的是()答案:D
答案:4.9
类型一已知函数模型的应用题【例1】灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度是θ1度,室内气温是θ0度,t分钟后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,这里,k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100℃,过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调,现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水,问:能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉?(假定该地白天室温为20℃)
思路分析:先用待定系数法来确定k的值,然后根据给出的时间列出方程解出水的温度与85℃相比即可,大于这个度数可以用,否则不可以用.
一般来说,若题中已给出数学模型,只要解数学模型即可,较常用的方法是待定系数法解模型,然后再利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题.
1一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度为3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?
解:(1)由于抛物线的顶点是(0,3.5),故可设其解析式为y=ax2+3.5.又由于抛物线过(1.5,3.05),于是求得a=-0.2.∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5.(2)当x=-2.5时,y=2.25.∴球出手时,他跳离地面的高度是2.25-1.8-0.25=0.20(m).
类型二建立函数模型的应用题【例2】某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h,谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kW·h?思路分析:先求出原来用电的费用,再设出峰时段的用电量建立不等式求解.
解:原来电费y1=0.52×200=104(元).设峰时用电量为xkW·h,电费为y,谷时段用电量为(200-x)kW·h.则y=x×0.55+(200-x)×0.35≤(1-10%)y1,即0.55x+70-0.35x≤93.6,则0.2x≤23.6,∴x≤118,即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kW·h.
当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时,其解题步骤是:第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景;第二步:恰当地设未知数,列出函数解析式,将实际问题转化成函数问题,即实际问题函数化;第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解;第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论.
2如下图,用宽度为1m的矩形铁皮,弯起两边,制作成横截面为矩形的水槽.试问,怎样设计才能使水槽的流量最大?
类型三拟合函数模型应用题【例3】某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).思路分析:只给数据,没明确函数关系,这样就需要准确地画出散点图.然后根据图形状态,选择合适的函数模型来解决实际问题.
解:以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图(如下图(1)和(2)).观察散点图可以看出,A种商品(上图(1))的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,取点(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2(a