3.2.2函数模型的应用实例（1）从容说课我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》主要通过一些实例来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.函数模型的应用实例主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题.例1主要根据题意列出相应的表格，通过表中数据的实际意义解决问题.例2涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，主要意图是让学生利用函数模型（分段函数）刻画实际问题.例3中的数学模型y=y0ert是指数函数模型，它由y0与r这两个参数决定，而y0与r的值不难得到.本题意图是让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型，并用数学模型解释实际问题.在教学中结合教材内容注重培养学生阅读理解的能力，提高其读图、画图的能力.三维目标一、知识与技能1.能利用给定函数模型解决实际问题.2.通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合.3.增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力.二、过程与方法1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型.2.根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.三、情感态度与价值观应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务.教学重点根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》（板书）主要通过一些实例让我们来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.
二、例题剖析【例1】某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元.问（1）第几年后开始获利？（2）当总纯收入获利最大时，以8万元出售该鱼船，问总获利为多少？分析：首先要弄清什么是第几年后开始获利.开始获利指哪一年后，总收入大于成本与各种费用的和，就开始获利.从题目条件中可以知道，每年捕鱼收益是一个常量50万元，而各种费用是逐年增加的，并且第n年的各种费用为12+（n－1）4=4n+8，从中可以看出，从某一年开始，捕鱼收益不够支付费用，即要亏本.可以计算出10年以后如不出售该渔船将会亏本（50＜4n+8），因为这里变量都是整数且数据较小，因此仅列表就能得出相应的结论.解：列出下表年数1234567891011年收入5050505050505050505050年各种费用1216202428323640444852年纯收入383430262218141062－2总获利－60－2643052708494100102100（1）由表格可以得到，第3年开始获利.（2）到第10年时，总纯收入获利最大为102+8=110.（注意：最后该船是以8万元出售的）【例2】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.师：先用投影仪投影出图一（将原图中的阴影部分隐去），分析这张图可以得到的是一个速度关于时间变化的图象，说明了速度与时间之间的什么关系？生：汽车在第1小时内以50km/h的速度匀速行驶；汽车在第2小时内以80km/h的速度匀速行驶；汽车在第3小时内以90km/h的速度匀速行驶；汽车在第4小时内以75km/h的速度匀速行驶；汽车在第5小时内以65km/h的速度匀速行驶.师：再用投影仪投影图二，（给出一个阴影矩形的面积，通过分析，让学生理解它的意义；我们知道这个阴影部分的面积（S=速度×时间）为50，它表示的是汽车在第1小时内行驶的路程为50km.
以此我们可以得出第2、3、4、5个阴影部分的面积分别为80、90、75、65，它们分别表示的是汽车在第2、3、4、5小时内行驶的路程.因此，整个阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程之和为360km.对于第2个问题，通过对图形的分析，可以看出：汽车在第1小时内以50km/h的速度匀速行驶；所以其行驶的路程与时间的函数关系是s′=50t（0≤t＜1）.因此第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=s′+2004=50t+2004（0≤t＜1）.第2小时，该汽车以80km的速度匀速行驶.因此第2小时内，汽车行驶的路程与时间的函数关系为s′=50+80（t－1）（1≤t＜2）.第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=s′+2054=80（t－1）+2054（1≤t＜2）.以此类推，（让学生自主完成）可以得出50t+2004，0≤t＜1，80（t－1）+2054，1≤t＜2，90（t－2）+2134，2≤t＜3，75（t－3）+2224，3≤t＜4，65（t－4）+2299，4≤t≤5.s=例2所涉及的数学模型是确定的，关键在于利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，让学生学会如何用函数模型来刻画实际问题.这里我们得到的是一个分段函数的模型，让学生注意分段函数的表示方法，及其定义域.学时探究：你能根据图一，作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？（1）首先获得路程关于时间变化的函数解析式50t，0≤t＜1，80（t－1）+50，1≤t＜2，90（t－2）+130，2≤t＜3，75（t－3）+220，3≤t＜4，65（t－4）+295，4≤t≤5.s=（2）根据上面的函数解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象，其实这个图象就是将图二向下平移了2004个单位.【例3】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国人口达到13亿？并根据所得结论，总结说明了什么问题.分析：这里要我们去验证问题中的数据与所提供的函数模型是否吻合，然后再利用函数模型解释实际问题，并利用模型进行预测.这里的函数模型y=y0ert是指数型函数模型，它由y0与r两个参数决定，实际上，y0就是1950年的人数，r是指各年的人口增长率的平均值，比较容易求得.解：（1）设1950～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196（1+r1）=56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=（r1+r2+…+r9）÷9≈0.0221.由y0=55196可得我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t（t∈N）.（请同学们利用计数器作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象，再根据表中1950～1959年人口数据，作出散点图（如下图），并进行比较，得出相应的结论）由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.（2）师：根据所得函数模型y=55196e0.0221t（t∈N）预测我国人口大约在哪一年达到13亿，实际上是通过一个对数式55196e0.0221t=130000来确定t的近似值.请同学们利用计数器进行计算：即t=（ln130000－ln55196）≈38.76.因此如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口数就已达到13亿，由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.三、课堂练习1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿，而2003年世界人口还没有达到72亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？2.以v0m/s的速度竖直向上运动的物体，ts后的高度hm满足h=v0t－4.9t2，速度vm/s满足v=v0－9.8t.现以75m/s的速度向上发射一发子弹，问子弹保持在100m以上高度的时间是多少秒？在此过程中，子弹速度的范围是多少？答案：1.（1）由y=5e0.003t可知，当y=10时，t≈231，所以1881年世界人口是1650年的2倍.同理可得2003年世界人口是1970年的2倍.
（2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.2.由题意有75t－4.9t2=100，解得t=.解得t1≈1.480，t2≈13.827.所以子弹保持在100m以上的时间t=t2－t1≈12.35，在此过程中，子弹最大速度v1=v0－9.8t=75－9.8×1.48=60.498m/s.四、课堂小结本节课我们主要通过收集数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题适用的函数模型，利用计数器或计算机的数据拟和功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.值得注意的是用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对函数模型进行修正.五、布置作业课本P126页习题3.2A组第4、6、7题.板书设计3.2.2函数模型的应用实例（1）例1例2例3课堂小结与布置作业
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