函数模型的应用实例(1)

3.2.2函数模型的应用实例（1）李勇刚一、内容和内容解析：（1）内容：本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教版A版第三章3.2.2函数模型的应用实例．本节通过一些实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的应用，认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型并能初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题．（2）内容解析：本节内容分为三个层次：一是利用已知函数模型解决、解释实际问题，如教材的例3、例4；二是通过建立“确定性”函数模型解决问题，如教材的例5；三是根据已知数据拟合函数解决问题，如例6．通过不同的实例，让学生感受到函数的广泛应用，并初步体验建立函数模型解决问题的过程与方法．对函数概念本质的理解是贯穿必修课程第一模块的一个重要任务．对函数概念本质的理解，并非一次就可以实现，它需要一个螺旋上升循序渐进的过程．本节在前面章节的基础上进一步通过解决实际问题，逐步加深对函数概念本质的理解，从而实现由具体到抽象再到具体的认识过程，并且在这一过程中培养学生用函数思想描述，现实世界变化规律的数学思想，让学生认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，使学生从更高的层面认识函数与实际问题的关系．本节课利用已知函数模型解决实际问题，让学生体会函数模型在现实世界的广泛应用，使学生初步形成用函数刻画现实世界变化规律的数学思想．本节课教学的重点应放在让学生了解函数模型的广泛应用上．二、目标和目标解析（1）通过实例一（课本例3）理解一次函数、分段函数的应用，初步体会用函数描述实际问题的思想方法．（2）通过实例的探究，提高读图能力，体验函数图象作为函数的一种表现形式在解决实际问题中发挥的重要作用．（3）利用实例二（课本例4）体会函数模型的广泛应用．让学生经历用数学方法解决实际问题的过程，初步感受建立函数模型解决问题的过程与方法．学会对给定的函数模型进行简单的分析评价．（4）通过探究，体会数学在现实世界的应用价值，培养学生树立“数学是有用的”，“数学无处不在”的思想意识．三、教学问题诊断分析学生在前一节探究几类不同增长的函数模型时，已初步接触应用函数解决实际问题．本节课要在此基础上逐步培养学生主动将实际问题转化成数学问题，利用函数思想解决实际问题的意识，使学生初步了解函数模型解决问题的过程和方法．5 实例1（课本例3）是学生很熟悉的行程问题，学生容易在思维上认识为一般的应用题，探究中可适当的作一些点评，然后通过学生的反思，使学生从更高的角度来认识这个问题，体会到函数就存在于熟悉的问题中．实例2（课本例4）是学生并不陌生的人口问题．通过这个问题让学生感初步感受到函数模型的广泛应用上，可通过情景设置，引导学生自然的感受数学建模的过程和方法，但又要防止在建模这一环节上做过多要求．这里可让学生做一定的尝试，激发学生兴趣，但不要求建立具体模型．总的来说，在教学过程中应始终围绕既定的目标进行，控制好问题难度，加强师生互动，把机会给学生，让学生在实践中体验函数模型在现实世界中的广泛应用．四、教学支持条件分析：教学过程中以自主探究和尝试、互动式讨论为主，辅以信息技术工具如多媒体、计算器，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环绕和有力的学习工具．五、教学过程设计（1）创设情景，揭示课题函数是描述事物运动规律的数学模型．我们已经认识了一次函数﹑二次函数﹑指数函数等等，它们都与现实世界有着紧密的联系．这节课将通过两个实际问题来领略函数模型在现实生活中的广泛应用．（2）实例尝试，探求新知实例1：2008年5月12日发生了汶川大地震．一方有难，八方支援，全国人民万众一心，纷纷向灾区伸出援助之手．一辆辆满载赈灾物资的货车驶向灾区．一辆满载赈灾物资的货车，由于道路损坏情况不同，在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.：问题1：你能根据这个函数图象说说这辆赈灾车速率与时间的实际行驶情况吗？问题2：你能得到图中阴影部分的面积吗？问题3：这块阴影部分的面积是否也具有实际意义呢？设计意图：通过用熟悉的函数刻画实际问题，激发学生兴趣．初步感受函数实际问题的联系．问题4：类似地，赈灾车在前1个小时行驶的路是多少？前2个小时？前3个小时？前半个小时呢？设计意图：通过问题串的形式让学生明确对于任意给定的时间都唯一的对应着一段路程．问题5：对于任意给定的时间都唯一的对应着一段路程，这让我们联系到哪一个数学概念呢？设计意图：启发学生如何用数学思想来思考实际问题，进一步巩固函数概念，并为建立里程表读函数与时间的函数关系作基础．5 问题6：你能根据此图建立里程表读数与时间的函数解析式吗？学生写出解析式后，引导学生进一步画出图象．问题7：你能根据读数与时间的函数关系解决下面两个实际问题吗？设计意图：让学生体会运动数学知识解决实际问题的完整过程，提高读图能力，重视函数图象在解决实际问题中的重要作用．实例2：人口问题人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．新中国成立后，由于社会安定，人民生活水平提高，加之缺乏对人口增长的适当控制，致使人口数量增长迅速．1960年北大校长马寅初发表的《新人口论》中就预测到1990年中国人口将超过13亿.于是我国早在70年代初就开始推行计划生育工作，以防人口数量的过快增长影响国家经济和社会的和谐与稳定．问题1：要预测30年后的人口数量，你准备用怎样的方法来预测呢？设计意图：让学生开始尝试主动用函数思想来解决实际问题，这里并不要求得到具体模型，只要思想合理，都可以通过鼓励学生激发学生的兴趣和欲望，从中体验建模思想．学情预设：学生可能再现以下解决思路：思路1：直接利用收集的数据，作出人口数学关于时间的函数图象，根据图象变化规律和趋势进行预测．思路2：利用收集的数据、计算出人口增长率，然后以某年人口数量为基础，计算出30年后的人口数量．这两种思想都是可行的，通过老师点评肯定学生的思路，顺势给出自然状态下的人口增长模型，激发学生下去进一步探究的欲望．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,1766～1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数6145662828645636599467207如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型．5 学生以小组形式计算出，确定出具体的人口增长模型．问题2：你通过观察图象，发现了什么呢？设计意图：引导学生对函数进行简单评价．提高对图形的分析能力，进一步体会图象的重要作用．在学生理解实际人口数量与预测人口数量存在的差异基础上，让学生明确两者的变化趋势基本一致，从而对1990年的人口数量进行预测．问题3：你能根据自己确定的人口模型，预测2030年的人口数量吗？设计意图：通过数据对比体现自然状态下，人口增长速度之快，体会指数函数的爆炸性增长特点．课堂小结：实际问题数学问题的解数学问题函数模型转化抽象推理演算解释说明本节课从两个实际问题出发，将实际问题转化为两个数学问题，然后将它们抽象成常见的函数模型，利用所学的数学知识得到了问题的解，最终解决了实际生活中提出的问题，这就是函数模型的应用．六、目标检测设计：课后思考题：P108T2P104T15.设在海拔m处的大气压强是，之间的关系为，其中，为常量．如果某游客从大气压为1.01×Pa的海平面地区，到了海拔2400m、大气压为0.90×Pa的一个高原地区感觉没有明显的高山反应，于是便准备攀登当地海拔为5596m的雪山，从身体需氧的角度出发，分析这位游客的决定是否太冒险？课后让学生进一步使用函数思想解决实际问题，体会函数模型应用的广泛性．5 5