函数模型的应用实例doc

《函数模型的应用实例》典型教学设计研究山东省阳谷县第二中学张成国电话：13656359368【课程分析】函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，课本通过例题让学生体会函数模型在实际问题中的应用，书中还渗透了函数拟合的基本思想。《函数模型的应用实例》主要包括三个方面的内容：利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题。课本对函数模型的认识和应用都是通过实例来实现的，这是因为函数模型本身就来源于现实，并应用于解决实际问题。同时本节内容给学生提供了从实际问题中发现并建立模型的机会，并能体会数学在实际问题中的应用价值。本节课选取的两个例题一个是利用给定的函数模型解决实际问题，另一个则是通过实际问题中蕴含的关系建立函数模型解决问题。例4中的数学模型是指数型函数模型，意在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解决实际问题，并利用模型进行预测，这也是此题的难点。例5所给的问题是表中数据的变化是有特定规律的，由数据特点抽象出函数模型，从而解决问题。学生能通过这两个实际问题总结出建立函数模型解决问题的过程。本节课教学目标是：1、培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力。2、通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的辩证关系。3、根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题。【学情分析】学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等常用的函数，熟悉了它们的解析式及它们在实际问题中的应用，又在上节课的学习基础上认识了几类不同增长的函数模型，对函数模型及应用有了初步了解，但学生对于应用题的理解是一个难点，特别对于题目较长的应用题，学生理解题意就是较为困难的问题，所以对于应用题的处理应该抓住要点一步一个台阶的进行教学，让学生由浅及深，不断提高自己解题能力。通过本节内容学习，进一步巩固前面学习的内容，突出重点总结规律，使原来的知识更系统，使原来的方法更清晰，让学生进一步熟悉函数模型的应用，从而提高学生解决实际问题的能力。【设计思路】本节课根据“诱思探究学科教学论”的教学设计理念，采用诱思、探究的学习方式，着力于激发、引导、促进学生的独立思考、合作交流，真正把教师的‘教’变成学生在教师导向性信息诱导下的‘学’。教学流程按照三个认知层次进行设计，第一个认知层次通过让学生回忆以前学过的常用函数模型，加深印象，为探究新知做好准备。第二个认知层次通过两个典型实例让学生体会函数模型在现实世界中是如何解决问题的。两个例题的素材都贴近生活，学生也非常感兴趣，对于问题的设计我采用了分部肢解的办法，让学生在合作中探究，同时也培养他们的合作意识利用导向性信息引导学生做什么，怎么做。从而达到” 以诱达思”,以情激情的目的。学生在两个实例的探究中总结出规律。第三个认知层次中学生在有了用函数模型解决问题的明确思路的基础上，运用规律提高能力，并让学生展示自己的成果。另外，在内容上本着分散难点的宗旨，让学生自主探究，尝试发现，然后总结规律和结论。这样的设计体现了学生学习的认知层次，立足于向课堂主阵地要质量，让学生真正成为了“学者”-----“体验、探究、创新”。整个教学过程始终贯穿以学生为主体，以教师为引导的教学理念。综合培养学生动眼看、动脑思、动口议、动手写的能力，培养他们探究合作意识和创新能力。【教学流程】一、回顾旧知，做好准备{课件投影}请同学们回顾：我们已经学习了哪些常用函数？它们的解析式分别是什么？如果回忆不起来，请翻阅课本有关内容，然后把它们写在练习本上，与大屏幕对照。一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数设计意图：通过对以上几种常用函数的回忆，让学生重新认识这些函数模型与我们的现实世界联系密切，在实际生活中应用广泛。为下面让学生体会函数模型在实际中的应用做好准备。简要实录：学生积极思考，然后在练习本上写出了这些常用函数，有部分同学忘记了函数中字母的范围，但与大屏幕对照后能及时改正。二、运用模型，总结规律{课件投影}（一）请同学们仔细阅读下面的材料，按要求回答问题。例1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。下表是1950～1959年我国的人口数据资料： 年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207思考：马尔萨斯提出的人口增长模型中,自变量是什么？要建立我国在这一时期的具体人口增长模型,需确定y0和r,根据所提供的数据，y0的值是多少？(同学们先独立思考，然后自由回答)设计意图：读完题意以后，首先让学生明确两个信息：函数模型和表格中的数据，对于函数模型，要让学生知道那个量是自变量，哪些字母是需要确定的系数，怎样确定这些系数，为建立函数模型奠定基础。简要实录：学生思考后，很快回答出哪个是自变量，个别同学对题意理解不清，回答错误，其他同学解释后便可学会。对于y0的值同学们都能正确答出。{课件投影}人口增长模型：其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)设1951～1959年每年的人口增长率分别为r1,r2,r3...,r9,根据所给数据，求出r1,r2,r3…,r9的值。以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率，请你求出1951～1959年期间我国人口的年均增长率r(精确到0.0001)。并写出我国在1950～1959年期间人口增长模型。（请同学们认真分析数据，各小组内分工合作计算r1，r2，r3…，r9的值，再找一名同学计算平均增长率r，然后写出这一期间的人口增长模型，然后选代表向全班展示。）设计意图：对于人口的年均增长率r的计算，首先让学生学会计算1951～1959年每年的人口增长率r1,r2,r3...,r9,然后再求平均值得到r，这也是确定函数中的系数。活动中让学生分工合作，培养他们的合作探究的精神，计算准确的能力。简要实录：根据导向性信息，学生分工计算，都能准确的得出答案，然后小组内选出代表回答。 李忠坡：首先由55196(1+r1)=56300计算出r1≈0.0200，同理可得r2≈0.0210r3≈0.0229r4≈0.0250r7≈0.0276r5≈0.0197r6≈0.0223r8≈0.0222r9≈0.0184然后计算r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221于是可以写出函数模型为：{课件投影}请同学们对照以下规范的答案，完善自己的解题过程解：（1）设1951年的人口增长率分别为r1，由55196(1+r1)=56300可得1951年的人口增长率r1≈0.0200。同理可得，r2≈0.0210r3≈0.0229r4≈0.0250r5≈0.0197r6≈0.0223r7≈0.0276r8≈0.0222r9≈0.0184r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为设计意图：给出完整规范的答案，让学生和自己的答案进行对比，进一步完善自己的解题过程，培养良好的解题习惯。{课件投影}ty检验函数模型根据图表中的数据作出散点图，并作出函数的图象。由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合。设计意图：由实际数据做出散点图，检验函数模型是否符合实际情况，此处由教师点拨，用计算机做出函数的图象。让学生观察实际数据表示的点与函数图象的位置关系，进一步观察它们的吻合程度。{课件投影}（2）如果按以上函数模型的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ （根据已知的函数模型，请说出解决此题的思路。同学们思考后自由发言。）设计意图：通过检验函数模型可以看出它是与实际数据相吻合的，说明确定的模型符合实际情况，可以利用它解决实际问题，将13亿代入函数模型，就可以计算出到哪一年我国的人口达到13亿。这是对函数模型的利用。简要实录：学生思考后，都能回答出解题思路，思维灵敏的同学把计算的过程说了出来。但此题计算较为复杂，教师在大屏幕上展示计算过程，并做出适当的点拨。{课件投影}（二）例2某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240（请同学们仔细阅读例题，独立思考，分析所给数据，理清题意。然后自由发言，回答下面问题。）(1)从表格数据中你可以看出销售单价和日均销售量有什么变化规律？设计意图：上面的例题是由已知函数模型通过所给数据确立具体的函数模型，本题是在实际问题中利用所给的数据变化规律抽象出函数模型，让学生从表格数据中发现“根据表中的数据可以看出，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。”这一变化规律，对下面的解题起着关键的作用。简要实录：学生认真读题，独立思考后都能回答出这一规律。(2)如果设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，根据以上数据分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润。（请同学们独立思考以上问题，然后小组内讨论，并在练习本上写出解题过程，写完后小组选代表向全班展示。）设计意图：根据实际问题中所蕴含的关系建立函数模型是本题让学生体会函数模型模型的应用的一个典型实例。通过表中数据建立变量x与y之间的关系。找到二次函数模型，利用二次函数求最值问题解决。让学生体会到二次函数模型是现实生活中最常见的函数模型。简要实录：各个学习小组之间相互讨论，同学之间相互交流，统一答案，然后找代表上台展示：第一小组代表：根据表中的数据可知单价定为5元时，销售520桶由题意这时可销售520-40x桶，可得：根据二次函数求最值可求x=6.5时y最大即单价定为11.5时可获最大利润。第三小组代表：解：设在进价基础上增加元后，日均销利润为元这时的人均销售量为 且当时，有最大值将售价定为11.5元时，就可获得最大利润。该同学展示的较好，同学们鼓掌鼓励他。{课件投影}请同学们对照以下规范的答案，完善自己的解题过程解：设在进价基础上增加元后，日均销利润为元这时的人均销售量为（桶）由于且即于是可得易知，当时，有最大值所以只需将售价定为11.5元，就可获得最大利润。设计意图：给出完整规范的答案，让学生和自己的答案进行对比，进一步完善自己的解题过程，培养良好的解题习惯。{课件投影}请同学们阅读课本第103—104页中的例4和例5两题的求解，总结用函数模型解决实际问题的基本过程。设计意图：让学生根据所学内容，形成自己的学习思路，总结规律。{课件投影} 收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解决实际问题检验模型符合实际不符合实际设计意图：根据两实例，让学生总结出用函数模型解决实际问题的基本过程的规律，能达到迁移应用，提高能力的目的。并用框图的形式给学生展示出来，更直观，更明确。简要实录：小组内学生讨论后，代表回答。学生只能用语言表达说出过程但不能用框图表达，多数学生表达不够详细，但基本说出来了大致的步骤。一、运用规律，提高能力{课件投影} （一）请同学们运用上述解决实际问题的基本过程，求解以下练习。先独立思考，在练习本上写出解答过程，完成后展示自己的成果。若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离m与刹车时的速率km/h的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m，在限速为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m，问这辆车是否超速行驶？设计意图：通过该练习让学生进一步掌握规律，学会由实际问题转化为数学问题的建模能力。简要实录：经过同学们自己思考后，都能在练习本上写出解答过程。第五小组代表：先求函数模型中系数a，然后再把50米代入，求初速度与100相比较。得出答案这辆车没有超速。第二小组代表：（二）请同学们课下完成课本第105页例6设计意图：让学生课下通过学习例6进一步体会函数模型解决实际问题的基本过程。【课后反思】张熊飞教授的诱思探究学科教学论的四条教学规律：1、引而不发，因人善喻，不言之教，和易以思，这就是为师之道的根本。2、食贵自化，学贵自得，深思熟虑，积水成渊，这就是为学之道的灵魂。3、善诱则通，善思则得，诱思交融，众志成城，这就是教学辩证法的真谛。4、教贵善诱，学贵善思，以诱达思，启智悟道，这就是启发教学的精髓。简言之，就是教师导向性信息诱导下学生独立地完成学习任务。在这些规律的精华体现了认知心理学的基本理论。教学过程中教师利用导向性信息，引导学生“自主、合作、探究”来达到对知识的发现和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。这是一节数学建模实例研究课，采用张教授的诱思探究理论，尝试了以学生为主体的小组合作研究学习。传统的数学学习方式使学生在数学建模过程中，禁锢在繁琐的数学计算和枯燥的公式演算中，使学生产生厌倦情绪，失去体会数学价值的机会，而本节采用了新的教学方法——诱思探究教学： 老师变成了引路者、促进者，学生变成了体验者、探究者；课堂变成了学堂。以此为指导思想，遵循函数学习的内在规律，按照探究性学习方式的三个层次要素（回顾——探究规律——提高运用）设计教学，掌握知识，发展能力，培育品德。使学生在实践的同时，可以将时间和精力集中在数学建模活动过程中的探索和分析上，激发学习兴趣，使学生在动手动脑中提高数学素质。函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？在选择求解的过程中，会遇到什么问题，又如何解决解决它呢？这些都是设计本课的目标所在。本课中涉及的两个问题，体现了以下两类题目函数的拟合方法：一、已知可选择的函数模型的。这一类题目往往也一同给出数据，我们可以通过观察数据特征来进行选择，也可以直接代入数据来进行检验，或者需要先求出参数的值，确定函数解析式后再把数据代入检验。二、未知函数模型只给出数据的。我们可以按书本中列出的流程图分步进行：但在求解模型的时候会遇到这样的问题，选择不同的数据，解出的参数值不一定相同，这是我们主要研究的问题。我采取诱思探究教学法，让学生分工计算参数的值，、根据参数的值确定函数解析式，再用计算机做出图象，利用散点图和模型的图象观察它们的吻合程度。这样就能让学生体会所建模型是否符合实际，能否利用它再解决实际问题。利用两个实际问题探究了以上两类问题之后，让学生探究用函数模型解决实际问题的基本过程的规律。这是本节课的一个难点之一，应该通过多次探究，师生共同讨论，从而得出一个完整的解题规律，即：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解决实际问题检验模型不符合实际符合实际有了以上解题规律学生就可以对