高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例课后篇巩固提升（含解析）

3.2.2 函数模型的应用实例课后篇巩固提升基础巩固1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(  )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点解析由题图知甲所用时间短,∴甲先到达终点.答案D2.下列函数中,随着x的增长,函数值增长最快的是(  )A.y=50B.y=1000xC.y=0.4×2x-1D.y=11000lnx解析画出函数图象(图略),观察可知指数函数模型的函数值增长最快.答案C3.用长度为24m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为(  )A.3mB.4mC.5mD.6m解析设隔墙长为xm,则矩形场地长为24-4x2=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,即当x=3m时,矩形面积最大.答案A4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是(  )A.升高7.84%B.降低7.84%C.降低9.5%D.不增不减解析设该商品原价为a,四年后的价格为a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.9216a.∴(1-0.9216)a=0.0784a=7.84%a,即比原来降低7.84%.答案B5.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为     km/h时,汽车的耗油量最少.  解析Q=0.0025v2-0.175v+4.27=0.0025(v2-70v)+4.27=0.0025[(v-35)2-352]+4.27=0.0025(v-35)2+1.2075.故v=35km/h时,耗油量最少.答案356.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过     小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg2≈0.30,lg3≈0.48). 解析设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有nlg34=n(lg3-2lg2)≤lg23=lg2-lg3,将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n≥32,故至少要经过2小时才能开车.答案27.一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是      . 解析从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故①正确;由排水速度知②正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故③不正确.答案①②8.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R与管道半径r的四次方成正比. (1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量速率为400cm3/s,求该气体通过半径为rcm的管道时,其流量速率R的解析式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率.解(1)由题意,得R=kr4(k是大于0的常数).(2)由r=3cm,R=400cm3/s,得k·34=400,解得k=40081,所以函数解析式为R=40081r4.(3)因为R=40081r4,所以当r=5cm时,R=40081×54≈3086(cm3/s),即该气体的流量速率约为3086cm3/s.9.如图所示,已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4m,CD=6m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=xm,PN=ym,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,则PQ=8-y,EQ=x-4.在△EDF中,EQPQ=EFFD,∴x-48-y=42.∴y=-12x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x10-x2=-12(x-10)2+50. 又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.所以当MP=8m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48m2.10.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数:当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=18t-a,而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=180.1-a,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=18t-0.1.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y=10t,0≤t≤0.1,18t-0.1,t>0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=18.当t>0.1时,由18t-0.1≤18,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.能力提升 1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到(  )A.300只B.400只C.600只D.700只解析将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.答案A2.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1000+5x+110x2,Q=a+xb,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有(  )A.a=45,b=-30B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45D.a=-45,b=-30解析设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=xa+xb-1000+5x+110x2=1b-110x2+(a-5)x-1000,其中x∈(0,+∞).由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.∴-a-521b-110=150,a+150b=40,整理得a=35-300b,a=40-150b,解得a=45,b=-30.答案A3.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是(  )解析依题意,当00)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)分析(1)先判断两个函数y=kax(k>0,a>1),y=px12+q(p>0)在(0,+∞)上的单调性,说明函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求,然后列出方程组,求解析式.(2)利用x=0时,y=323×320=323,即元旦放入凤眼莲的面积是323m2,列出不等式转化求解.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=px12+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=px12+q(p>0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,所以ka2=24,ka3=36,解得k=323,a=32,所以该函数模型的解析式是y=323×32x(x∈N*).(2)x=0时,y=323×320=323,所以元旦放入凤眼莲的面积是323m2. 由323×32x>10×323,得32x>10,所以x>log3210=lg10lg32=1lg3-lg2.因为1lg3-lg2≈10.4771-0.3010≈5.7,所以x≥6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.