3．2.2 函数模型的应用实例[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．[预习导引]1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解决学生疑难点 要点一 用已知函数模型解决问题例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f(x)＝(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5min与开讲后20min比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解 (1)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x≤30时，f(x)单调递减，f(x)＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6min.(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5)．因此，开讲后5min学生的接受能力比开讲后20min强一些．(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，故x＝6.当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.所以x＝17.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17－6＝11＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？解 当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，要耗油×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升．要点二 建立函数模型解决实际问题例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－x2＋x＝－(x2－200x)＝－(x－100)2＋，所以当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝，N＝t，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元．(1)写出y关于x的函数表达式；(2)求总利润y的最大值．解 (1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝(亿元)，此时乙项目投资(3－x)亿元，获得利润为N＝(3－x)(亿元)，则有y＝＋(3－x)，x∈[0,3]．(2)令＝t，t∈[0，]，则x＝t2，此时y＝t＋(3－t2)＝－(t－1)2＋.∵t∈[0，]，∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值为.即总利润y的最大值是亿元．1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元B．300元
C．390元D．280元答案 B解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )答案 D3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )A．y＝2xB．y＝2x－1C．y＝2xD．y＝2x＋1答案 D解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为________．答案 解析 S＝(3＋x)(2－)＝－＋＋6＝－(x－)2＋，∴x＝时，Smax＝.1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．一、基础达标1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )答案 C解析 由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．2．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…邮资y(元)5.006.007.00…如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是( )A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元答案 C解析 由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元．3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( )A．30B．40C．50D．60答案 C解析 设安排生产x台，则获得利润
f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500.故当x＝50台时，获利润最大．4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是( )A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16答案 D解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A．a＝45，b＝－30B．a＝30，b＝－45C．a＝－30，b＝45D．a＝－45，b＝－30答案 A解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y＝xQ－P＝x－＝x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.∴解得6．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．答案 甲解析 对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．
7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解 设报摊主每天买进报纸x份，每月利润为y元(x为正整数)．当x≤250时，y＝0.1×30×x＝3x.当250≤x≤400时，y＝0.1×20×x＋0.1×10×250－(x－250)×0.32×10＝2x＋250－3.2x＋800＝1050－1.2x.当x≥400时，y＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x－400)×0.32×20－(x－250)×0.32×10＝800＋250－6.4x＋2560－3.2x＋800＝－9.6x＋4410.当x≤250时，取x＝250，ymax＝3×250＝750(元)．当250≤x≤400时，取x＝250，ymax＝750(元)．当x≥400时，取x＝400，ymax＝570(元)．故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．二、能力提升8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )A．125B．100C．75D．50答案 C解析 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75.9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t
表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg2≈0.301，lg3≈0.477)．答案 36.72解析 当N＝40时，则t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg5－2lg3)＝36.72.10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．答案 ①②解析 由图象知，t＝2时，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正确．当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确，当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23.t2－t1＝log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额．(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L，则由题设得：L＝Q(P－14)×100－3600－2000.①由销量图易得：Q＝代入①式得L＝(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450(元)，此时P＝19.5(元)；当20＜P≤26时，Lmax＝(元)，此时P＝(元)．故当P＝19.5(元)时，月利润余额最大，最大余额为450元．(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．三、探究与创新12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多少时间？解 由题意知40－24＝(88－24)·，即＝，解得h＝10.故T－24＝(88－24)·.当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝.两边取对数，用计算器求得t≈25.因此，约需要25min，可降温到35℃.
13．今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11.)解 (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝90%P0.于是有90%P0＝P0e－5k.解得k＝－ln0.9(或0.022)．(2)由(1)得，知P＝.当P＝40%P0时，有0.4P0＝.解得t＝≈＝≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．
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