函数模型的应用实例训练

3.2.2 函数模型的应用实例一、基础达标1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为(  )答案 C解析 由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．2．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…邮资y(元)5.006.007.00…如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是(  )A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元答案 C解析 由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元．3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为(  )A．30B．40C．50D．60答案 C 解析 设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500.故当x＝50台时，获利润最大．4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是(  )A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16答案 D解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有(  )A．a＝45，b＝－30B．a＝30，b＝－45C．a＝－30，b＝45D．a＝－45，b＝－30答案 A解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y＝xQ－P＝x－＝x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.∴解得6．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．答案 甲解析 对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解 设报摊主每天买进报纸x份，每月利润为y元(x为正整数)．当x≤250时，y＝0.1×30×x＝3x.当250≤x≤400时，y＝0.1×20×x＋0.1×10×250－(x－250)×0.32×10＝2x＋250－3.2x＋800＝1050－1.2x.当x≥400时，y＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x－400)×0.32×20－(x－250)×0.32×10＝800＋250－6.4x＋2560－3.2x＋800＝－9.6x＋4410.当x≤250时，取x＝250，ymax＝3×250＝750(元)．当250≤x≤400时，取x＝250，ymax＝750(元)．当x≥400时，取x＝400，ymax＝570(元)．故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．二、能力提升8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(  )A．125B．100 C．75D．50答案 C解析 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75.9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg2≈0.301，lg3≈0.477)．答案 36.72解析 当N＝40时，则t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg5－2lg3)＝36.72.10．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2； ③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．答案 ①②解析 由图象知，t＝2时，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正确．当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确，当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23.t2－t1＝log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额．(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L，则由题设得：L＝Q(P－14)×100－3600－2000.①由销量图易得：Q＝代入①式得L＝ (1)当14≤P≤20时，Lmax＝450(元)，此时P＝19.5(元)；当20＜P≤26时，Lmax＝(元)，此时P＝(元)．故当P＝19.5(元)时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．三、探究与创新12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多少时间？解 由题意知40－24＝(88－24)·，即＝.解之，得h＝10.故T－24＝(88－24)·.当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝.两边取对数，用计算器求得t≈25.因此，约需要25min，可降温到35℃.13．(2014·成都高一期末) 今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11.)解 (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝90%P0.于是有90%P0＝P0e－5t.解得k＝－ln0.9(或0.022)．(2)由(1)得，知P＝P0et.当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0et.解得t＝≈＝≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．