函数模型应用实例A

《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设函数模型的应用实例(A)一、选择题1．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温约为37℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是()2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(小时)的函数解析式是()A．x＝60tB．x＝60t＋50tC．x＝D．x＝3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只B．400只C．600只D．700只4．用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设A．3mB．4mC．5mD．6m5.有一组实验数据如下表所示:x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()A.y=logax(a>1)B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0)D.y=logax+b(a>1)6.若x∈(0,1),则下列结论正确的是()A.2x>>lgxB.2x>lgx>C.>2x>lgxD.lgx>>2x7．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图3211所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是()图3211适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设8．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15B．40C．25D．130二、填空题9．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时生产的机器台数为________台．10．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.下图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10min，那么y＝f(x)的解析式为________．11．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x、y应分别为________．12.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是     . 三、解答题13．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y与x的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？14．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0桌子高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？15.某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每支0.5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一本软皮本赠送一支铅笔;(2)按总价的92%付款.现要买软皮本4本,铅笔若干支(不少于4支),若购买x支铅笔,付款为y元,试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?16．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为l万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设(其中a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．参考答案一、选择题1．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温约为37℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是()适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设解析：观察选项A中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”这一过程．答案：C2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(小时)的函数解析式是()A．x＝60tB．x＝60t＋50tC．x＝D．x＝解析：显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数，选D.答案：D3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只B．400只C．600只D．700只解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.答案：A4．用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3mB．4mC．5mD．6m解析：设隔墙的长为xm，矩形面积为S，则S＝x·＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，S有最大值为18.答案：A5.有一组实验数据如下表所示:x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()A.y=logax(a>1)B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0)D.y=logax+b(a>1)解析:通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而选项A,D中的函数增长速度越来越慢,而选项B中的函数增长速度保持不变,故选C.答案:C适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设6.若x∈(0,1),则下列结论正确的是()A.2x>>lgxB.2x>lgx>C.>2x>lgxD.lgx>>2x解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=,y=lgx的图象.如图所示,由图可知当x∈(0,1)时,2x>>lgx.答案:A7．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图3211所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是()图3211适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设【解析】水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是一个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．【答案】D8．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15B．40C．25D．130【解析】若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用人数为25人．【答案】C二、填空题9．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时生产的机器台数为________台．解析： 设该厂获利润为g(x)，则g(x)＝25x－y＝25x－(x2－75x)＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500，适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设当x＝50时，g(x)有最大值2500万元．答案：5010．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.下图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10min，那么y＝f(x)的解析式为________．解析：由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得y＝f(x)＝答案：y＝f(x)＝11．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x、y应分别为________．解析：由图知x、y满足关系式＝，即y＝24－x，矩形的面积S＝xy＝x＝－(x－15)2＋180，故x＝15，y＝12时S取最大值．答案：x＝15，y＝1212.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是     . 解析:看横轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误.答案:①②③三、解答题13．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y与x的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？解析：(1)由图象知，可设y＝kx＋b，x∈[0,200]时，过点(0，－1000)和(200,1000)，解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2000)，解得k＝15，b＝－2500，适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设从而y＝15x－2500，所以y＝(2)每天的盈利额超过1000元，则x∈(200,300]，由15x－2500>1000得，x>，故每天至少需要卖出234张门票．14．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0桌子高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？解析：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式．得所以所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.所以给出的这套桌椅是配套的．15.某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每支0.5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一本软皮本赠送一支铅笔;(2)按总价的92%付款.现要买软皮本4本,铅笔若干支(不少于4支),若购买x支铅笔,付款为y元,试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页 《恒谦教育教学资源库》教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设解:由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4,且x∈N).由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4,且x∈N).令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且当4≤x0.46x+7.36.即当购买铅笔少于34支(不少于4支)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔多于34支时,用优惠办法(2)合算;当购买铅笔34支时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.16．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为l万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(其中a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．解:设二次函数为y=px2+qx+r，则,所以,当x=4时,y=1.3;对于函数,由,所以,当x=4时,y=1.35,显然,用函数作为模拟函数较好．适用于新课程各种版本教材的教学全国统一客服电话：400-715-6688第14页