3.2.2 函数模型的应用实例一、A组1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点解析:由题图知甲所用时间短,则甲先到达终点.答案:D2.用长度为24m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( ) A.3mB.4mC.5mD.6m解析:设隔墙长为xm,则矩形场地长为=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,即当x=3m时,矩形面积最大.答案:A3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则x,y之间的函数关系式为( )A.y=0.957B.y=0.9576100xC.y=D.y=1-0.04解析:特殊值法,取x=100代入选项,只有A正确.答案:A4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是( )A.升高7.84%B.降低7.84%C.降低9.5%D.不增不减解析:设该商品原价为a,四年后的价格为8
a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.9216a.所以(1-0.9216)a=0.0784a=7.84%a,即比原来降低7.84%.答案:B5.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为( )A.125B.100C.75D.50解析:由已知得a=a·e-50k,即e-50k=.∴a=·a=(e-50k·a=e-75k·a,∴t=75.答案:C6.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.若N=40,则t≈ .(已知lg2≈0.301,lg3≈0.477). 解析:当N=40时,则t=-144lg=-144lg=-144(lg5-2lg3)=-144(1-lg2-2lg3)≈36.72.答案:36.727.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少. 解析:Q=0.0025v2-0.175v+4.27=0.0025(v2-70v)+4.27=0.0025[(v-35)2-352]+4.27=0.0025(v-35)2+1.2075.故v=35km/h时,耗油量最少.答案:358
8.导学号29900137一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是 . 解析:从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故①正确;由排水速度知②正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故③不正确.答案:①②9.如图所示,已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4m,CD=6m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=xm,PN=ym,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解:(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4.在△EDF中,,所以.所以y=-x+10,定义域为[4,8].8
(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.所以当MP=8m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48m2.10.导学号29900138(2016·河北高一月考)经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足函数g(t)=80-2t,而且销售价格近似满足于f(t)=(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式;(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解:(1)由已知得y=f(t)·g(t)==(2)由(1)知,①当0≤t≤10时,y=-t2+10t+1200=-(t-5)2+1225.该函数在区间[0,5]上递增,在区间(5,10]上递减,则ymax=1225(当t=5时取得),ymin=1200(当t=0或t=10时取得).②当10
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