2022年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例 学案 新人教A版必修1

3.2.2 函数模型的应用实例学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．知识点一 几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．( × )2．用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点．( × )3．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( × )4．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( × )类型一 利用已知函数模型求解实际问题 例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程．考点 函数模型的应用题点 一次、二次函数模型的应用解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t.2h内火车行驶的路程S＝13＋120×＝233(km)．反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．考点 函数模型的应用题点 一次、二次函数模型的应用答案 2解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2(a≠0)，则－2＝a·22，∴a＝－，∴y＝－x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，－3)，将B点的坐标代入到y＝－x2中，得b＝±，因此水面宽2米．类型二 自建确定性函数模型解决实际问题例2 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2 ，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．考点 函数模型的综合应用题点 函数模型中的最值问题解 (1)设AM＝y，AD＝x，则x2＋4xy＝200，∴y＝.故Q＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38000＋4000x2＋(0