3．2.2 函数模型的应用实例[读教材·填要点]函数模型的应用(1)用已知的函数模型刻画实际问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：[小问题·大思维]1．在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？提示：函数模型解析式正比例函数模型f(x)＝(k为常数，k≠0)一次函数模型二次函数模型f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)对数函数模型幂函数模型提示：f(x)＝kx(k为常数，k≠0) 反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)2．在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？提示：实际问题有意义．例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等．已知函数模型的应用题[例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)；(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)[自主解答] (1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f(t)＝由图2可得，种植成本与时间的函数关系为g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝当0≤t≤200时，配方整理，得h(t)＝－(t－50)2＋100，所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50,即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大．——————————————————求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：图表中的第一步：，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．——————————————————————————————————————1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为：50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；低谷时间段100千瓦时的用电电费为：50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．合计：148.4(元)．答案：148.4指数函数、对数函数及幂函数模型[例2] 某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元．本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86万元．由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．——————————————————指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.——————————————————————————————————————2．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级．(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
解：(1)M＝lgA－lgA0＝lg＝lg＝4.即这次地震的震级为4级．(2)，lg＝3，＝1000.即所求是1000倍．拟合函数模型的建立及应用[例3] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度xcm与当年灌溉面积yhm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积yhm2随积雪深度xcm变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm，则可以灌溉土地多少公顷？[自主解答] (1)描点作图如图甲：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，代入y＝ax＋b，得用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4.这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25cm时，可以灌溉土地47.4hm2.——————————————————对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是：(1)根据原始数据，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.——————————————————————————————————————3．某汽车公司曾在2013年初公告：2013年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．2010年，某汽车年销量8万辆；2011年，某汽车年销量18万辆；2012年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2010,2011,2012,2013年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？解：建立年销量y(万辆)与第x年的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．(1)构造二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，可得解得则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为4.7.
(2)构造指数函数型g(x)＝a·bx＋c，将点的坐标代入，可得解得则g(x)＝·()x－42，故g(4)＝×()4－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y(万辆)与第x年的关系.解题高手妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！ 图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧Cm是半圆，曲边形ABCD的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB＝2x，BC＝y.(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大．[巧思] 凹槽的强度最大，即横截面的面积最大．只要将凹槽横截面的面积S表示成x的函数，然后求函数的最值即可解决．[妙解] (1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为πx，∴4＝2x＋2y＋πx，∴y＝.依题意知：0
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