§3.2.函数模型的应用实例

§3.2.2函数模型的应用实例高一数学组林晓丹一、教学目标1、知识与技能：能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。2、过程与方法：体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。3、情感、态度、价值观：深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。二、教学重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。三、学学与教学用具1、学法：学生尝试实践，合作交流，共同探索。2、教学用具：多媒体四、教学设计随着新课改的逐步深入，越来越强调学生的探究能力、动手能力以及使用信息技术的能力。本节课是从生活的实际背景出发，能很大程度提高学生的学习积极性，激起学生探究的兴趣，设置问题引导学生体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值。数据表和散点图用计算机作出，以利于学生亲身体验拟合数据的过程和方法，同时也可让学生自己操作，培养他们的动手能力，充分发挥信息技术的作用，从而体会函数拟合的思想方法。五、教学过程（一）创设情景，揭示课题函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法。2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。（二）设置问题，探究学习例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）身高60708090100110体重6.137.909.9912.1515.0217.50身高120130140150160170体重20.9226.8631.1138.8547.2555.05问题1：根据表中提供的数据，画出相应的散点图。借助excel，根据统计数据，以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出它们相应的散点图。问题2:观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？选择何种函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？可以考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型。问题3：确定函数模型需要哪些因素，如何根据表中数据确定函数模型？如果取其中的两组数据(70,7.9),(160,47.25),代入得：，用计算器算得于是我们就得到一个函数模型：问题4：如何对所确定模型进行适当的检验和评价检验方法一：运用几何画板，观察函数图像与原散点图的拟合程度； 检验方法二：运用excel的计算功能，将身高xcm的各组数据代入函数，将用函数计算的体重值与真实值比较，观察是否有太大偏差。问题5：当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式会相同吗？如何修正所确定的函数模型使其与已知数据的拟合程度较好？若选择两组数据(60,6.13),(70,7.9),代入，就会发现求出的函数模型拟合程度较差，原因是实际情况中，幼年时期的孩童体重成长较快，身高成长较慢。问题5：若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？所以，这个男生偏胖。本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算机画图，帮助判断.根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型。在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测。此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法。例2.我国1990-2000年的国内生产总值如excel表中所示：（1）画出1990-2000年的国内生产总值的图象；（2）建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型，并画出图象；（3）根据所建立函数模型，预测2004年的国内生产总值。本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.探索过程如下：1）首先建立直角坐标系，画出散点图；2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型，充分利用excel直接由散点图添加趋势线选择接近的函数模型：一次函数模型： 二次函数模型：幂函数模型：指数函数模型：（＞0，）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型。（三）课堂练习：18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现关于太阳系行星距离的定则：行星1金星2地球3火星45木星6土星7距离0.71.01.65.210.0根据已知的数据画出散点图，选择指数函数模型，利用三组数据，用待定系数法求出解析式，将其余两组数据代入模型检验，可发现该模型拟合程度较好，从而算出第4颗行星——谷神星的距离为2.8，与真实值2.8一致；第七颗行星——天王星的距离为19.6，与真实值19.2相差甚少。谷神星的发现创造了天文史上的神化。（四）归纳小结，巩固提高.用函数模型解决实际问题通过以上三个例子，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：求函数模型选择函数模型收集数据画散点图检验符合实际不符合实际（五）作业：学案P80二、1-7六、教学反思 1.例一问题3的提出，让学生思考确定指数函数模型需要哪些因素，如何根据表中数据确定函数模型。学生较能体会可以采用待定系数法的思想，找到两组数据代入求出具体的函数模型。但是面对已有的多组数据，要如何选择是一个难点，学生大多会思考可以选择可以是随意的。先让学生自己动手，选择数据求出函数解析式，思考如何检验，将已知数据代入上述函数解析式或作出上述函数的图象，观察他们选取的数据建立的函数模型与已知数据的拟合程度是否良好，最后根据实际情况进行适当分析，让学生体会根据事实建立尽可能接近的函数模型的重要性。2.既然强调使用信息技术让学生自己动手操作，若是能够改在机房上课，让学生可以利用他们掌握的信息技术的基础知识上机操作，能更好的实现三维目标。