函数模型及其应用实例1

函数模型的应用实例 一、新课引入到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数（a≠0） 大家首先来看一个例子邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____．f（x）＝从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中建立函数模型呢？ 例3一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2-7所示。（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km图3.2-7 （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象。这个函数的图象如图3.2-8所示S=解：根据图3.2-7，有50t+200480(t-1)+205490(t-2)+213475(t-3)+222465(t-4)+22990≤t＜11≤t＜22≤t＜33≤t＜44≤t＜5t图3.2-8s图3.2-7 从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应用问题呢？ 例4人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1+r1)=56300可得1951年的人口增长率r1≈0.0200。同理可得，r2≈0.0210r3≈0.0229r4≈0.0250r5≈0.0197r6≈0.0223r7≈0.0276r8≈0.0222r9≈0.0184 于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为根据表3-8中的数据作出散点图，并作出函数的图象（图3.2-9）。由图3.2-9可以看出，所得模型与1951～1959年的实际人口数据基本吻合。图3.2-9ty （2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：将y=130000代入由计算器可得t≈38.76所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。 从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。 中国移动通讯公司拥有“全球通”“神州行”“动感地带”三大著名客户品牌．“全球通”：收费标准是月租费50元，通话1分钟话费0.4元；“神州行”：不缴月租费，本地接听和主叫均为0.6元/分钟，长途0.8元；“动感地带”（M—zone）是今年3月份北京移动为年轻一族量身定做的移动客户品牌．其最大卖点在于其短信套餐，分别为每月支付20元可发300条短信或者每月支付30元可发500条短信（假设选择第一种套餐），一条不到一毛钱，资费标准：中国移动网内0.4元/分钟，网外0.6元/分钟，免交月租．若一个月内通话分钟为x（仅考虑均拨打本地网内电话的情况），三种方式的费用分别为y1元、y2元和y3元．练习1 （2）当x＝300时，y1＝170元，y2＝180元，y3＝140元，所以使用“动感地带”合算些．（1）一个月内通话多少分钟，“全球通”与“神州行”通讯费相同？（2）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种通讯方式合算？解：（1）y1＝50＋0.4x，y2＝0.6x，y3＝20＋0.4x，由y1＝y2，解得x＝250，所以一个月通话250分钟，两种方式通讯费相同． 某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在某个时刻这种细菌的个数为200个，按照每小时成倍增长，如下表：时间（小时）0123细菌数（个）2004008001600问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？练习2 解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有x小时0123y（个）2004008001600点ABCD200＝200×20，400＝200×21，800＝200×22，1600＝200×23．此实验开始后5小时，即x＝5时，细菌数为200×25＝6400（个）．从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y＝200·2x（x∈N）． 课堂小结解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行：第一步：阅读理解，认真审题第二步：引进数学符号，建立数学模型第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果第四步：再转移成具体问题作出解答 1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定的函数模型。课堂小结2.根据收集到的数据，作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据得出具体的函数解析式。再用得到的函数模型解决相应的问题。用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此，往往需要对模型进行修正。注意 作业：P121习题3.2A组第2、4题