3.2.2 函数模型的应用举例 第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例

第2课时指数型、对数型函数模型的应用举例 招聘启事猪氏集团因业务发展需要，特招聘旗下餐饮公司经理一名.要求30周岁以下,经面试合格,面试中…即可录用，待遇丰厚.联系人：猪悟能联系电话：86868866 面试题目“天棚大酒店”自2012年1月1日营业以来，生意蒸蒸日上.第一个月的营业额就达到了100万元，第二个月比第一个月增长了百分之五.照此增长，第三个月的营业额为多少?第x个月的营业额是多少？100（1+0.05）2100（1+0.05）x-1这是指数函数模型，今天我们将学习指数函数和对数函数模型！ 1.能够利用指数(或对数)函数模型解决实际问题.（重点）2.能够收集数据信息，建立拟合函数解决实际问题.(难点）3.进一步熟悉运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.（易混点） 指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用． 1.指数函数模型(1)表达形式：f_(_x_)_=_a_b_x_+_c_._(2)条件：a,b,c为常数，a≠0,b>0,b≠1.2.对数函数模型(1)表达形式：f_(_x_)_=_m_l_o_g_a_x_+_n_.(2)条件：m,n,a为常数，m≠0,a>0,a≠1. 类型一：指数型函数的应用例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？思路分析：复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息，设本金为a，每期利率为r，本利和为y,存期为x,则复利函数式为y=a(1+r)x. 解：1期后本利和为：yaara(1r)122期后本利和为：y2a(1r)……xx期后，本利和为：ya(1r)x将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式：55y1000(12.25%)10001.02255由计算器算得：y≈1117.68（元） 类型二：对数型函数的应用例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：rtyye0其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数／55196563005748258796602666145662828645636599467207万人（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符.（2）如果按表的增长趋势，大约哪一年我国的人口达到13亿? 解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为r,r,r,r,r,r,r,r,r.123456789由55196(1r)563001可得1951的人口增长率为r0.02001同理可得，r20.0210r30.0229r40.0250r50.0197r60.0223r70.0276r80.0222r90.0184于是,1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为r(rrrrrrrrr)90.0221123456789 令y055196,则我国在1950～1959年期间的人口0.0221t增长模型为y55196e,tN.根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.验证其准确性 0.0221t由图可以看出,所得模型y55196e,tN与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.0.0221t（2）将y=130000代入y55196e,tN.由计算器可得t38.76.所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力. 【变式练习】科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强是y(105Pa)，y与x之间的函数关系式是y=cekx（c,k为常量）在海拔5(km)处的大气压强为0.5683(105Pa)，在海拔5.5(km)处的大气压强为0.5366(105Pa)，（1）问海拔6.712(km)处的大气压强约为多少？（精确到0.0001)（2）海拔为h千米处的大气压强为0.5066(105Pa)，求该处的海拔h. 解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366代入函数关系式y=cekx，得：5k0.5683cek0.1155.5kc1.010.5366ce0.115x5y1.01e(10Pa)把x=6.712代入上述函数关系式，得y1.01e0.1156.712≈0.4668(105Pa)答：海拔6.712(km)处的大气压强约为0.4668(105Pa). (2)由1.01·e-0.115h=0.50660.50660.115hln1.01解得h≈6(km)答:该处的海拔约为6km. 【提升总结】对数函数应用题的解题思路有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义. 类型三：数据拟合函数的应用例3某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高60708090100110120130140150160170(cm)体重6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(kg)⑴根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式． ⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？ 分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下） (2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，我们可以考虑用函数y=a•bx来近似反映.解：⑴将已知数据输入计算机，画出图象；x根据图象，选择函数yab进行拟合．如果取其中的两组数据（70，7.90）,（160，47.25）707.9abx代入函数yab得16047.25ab由计算器得a2,b1.02x从而函数模型为y21.02. 将已知数据代入所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数x关系式可以选为y21.02. x175⑵将x=175代入y21.02得y21.02由计算器计算得y≈63.98，78由于1.221.263.98所以，这个男生偏胖． 【提升总结】函数拟合与预测的步骤⑴能够根据原始数据、表格,绘出散点图.⑵通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的． 因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大致相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(D)A.y=2xB.y=2x-1C.y=2xD.y=2x+1【解析】分裂一次后由2个变成2×2=22(个)，分裂两次后4×2=23(个)，……,分裂x次后y=2x+1(个). C 3.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发O现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log，单位是210m/s，其中O表示燕子的耗氧量.(1)当燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是15个单位.【解析】(1)由题意，当燕子静止时，它的速度v=0，O所以，0=5log2，解得：O=10个单位.1080(2)由耗氧量是O=80得：v5log25log2815m/s.10 1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系.（2）利用待定系数法，确定具体函数模型.（3）对所确定的函数模型进行适当评价.（4）根据实际问题对模型进行适当修正. 2.函数应用的基本过程（1）收集数据.（2）作出散点图.（3）通过观察图象判断问题所适用的函数模型.（4）用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式.（5）用得到的函数模型解决相应的问题. 勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。