35-函数模型应用实例(2)

3.2.2函数模型的应用举例(2)教材分析本节内容是必修第一册第二章第二节的函数模型及其应用第二节内容，如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是一个难点。函数模型的应用实例主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，如例4；建立确定性函数模型解决实际问题，如例3、例5；建立拟合函数模型解决实际问题，如例6．一方面通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值，另一方面通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．课时分配本节内容用1课时完成，主要讲解在面临实际问题时,通过自己建立相应的函数模型来解决问题．教学目标重点:应用问题的阅读分析和解决，根据实际问题建立相应的数学模型．难点：根据实际问题建立相应的数学模型.知识点：从实际问题中发现或建立数学模型.能力点：建立适当数学模型解决实际问题建立数学模型.教育点：1.体会数学在实际问题中的应用价值，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.2.进行拟合检验，培养学生的理性精神和负责态度.自主探究点：如何从实际问题中发现或建立数学模型.考试点：运用函数的知识解决简单的实际问题.易错易混点：根据实际问题选取不同类型函数解决实际问题.拓展点：在实际问题中利用函数有关知识解决问题.教具准备多媒体课件课堂模式学案导学一、引入新知师：数学源自生活，应用于生活．生产实践中蕴涵着丰富的数学思想与方法．刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．我们再来探讨几个应用问题.6 师：前一节课我们学习了例3、例4，我们能够应用已知的函数模型解决问题，有时候我们还会面临这样的问题，大家来看课本104页例5.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润问题：这个问题与前一节的问题有什么区别？生：题目中没有给出具体的函数模型.师：这里就需要我们自己建立函数模型来解决问题了.二、探究新知应用举例（一）桶装水的定价例5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润.【师生互动】本例需要解决以下三个问题： （1）找出题目中的已知条件和要解决的任务. 已知：固定成本为200元；每桶水的进价是5元；销售单价与日均销售量之间的数据表格；求解：定价为多少时利润最大？（2）分析表格数据，建立日均销售量与销售单价之间的函数模型；从而建立利润与售价之间的函数关系； （3）在实际问题中自变量取值范围的确定.【自主探究、讨论交流】 ①利润与哪些量有关？试用等式表示. 利润＝销售的金额－销售成本－固定成本（或利润＝单桶水的销售利润×销售量－固定成本）. ②分析表格数据，日均销售量随销售单价的变化规律是什么？ 销售单价在6元基础上每涨价1元销售量就减少40桶. ③当销售单价为x元/桶时，销售量为多少？ 销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).6  ④销售单价x受哪些条件的制约？其取值范围是什么？ x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18.解法一：设每桶水定价为x元时，日均销售利润为y元.因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则日均销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶). 由于x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18， 所以y＝(720－40x)(x－5)－200＝－40x2＋920x－3800，5＜x＜18.                    易知，当x＝11.5时，y有最大值.故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.解法二：由上表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。设在进价基础上增加元后，日均销售利润为元，在此情况下的日均销售量为（桶）.由于，即，于是可得。所以，当时，有最大值。所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。[设计意图]通过本例，让学生领悟实际生活中的数学问题，弄清题目中出现的量及其含义，建立确定的函数模型来解决实际问题.[设计说明]本例区别与上课时的例4，,题目中没有给出确定的函数关系，需要根据题意自主设量，根据关系建立函数求解，难度增加了.应用举例（二）体重与身高关系例6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm607080901001101201301140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏重，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？【师生互动】根据上表的数据画出散点图（见右图）观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些的分6 布情况，可以考虑用这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数关系.解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图。根据点的分布特征，可考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.如果取其中的两组数据（70，7.90），（160，47.25），代入得：，解得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将代入，得，由于，所以，这个男生偏胖.[设计意图]本例适合于运用研究性的方法学习.学生学通过分析已知数据，利用散点图估计出适当的函数模型，初步掌握选择函数模型的方法，体会利用信息技术建立函数模型的优势.本例内容源于教材，又不拘泥于教材，适当进行了拓展和延伸，强化了应用意识.[设计说明]本例不同于上例，要根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，如果运用计算器或计算机的拟和功能，那么获得的函数模型更精确，若教学条件允许，可以让学生试一试.三、理解新知解答函数模型的应用实例，解答问题的关键有两点：一是认真审题，理解题意，明确问题的实际背景，然后抽象概括为相应的数学问题；二是合理选取参数，设定变元后，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型，最终求解数学模型，使实际问题获解.一般解题步骤：读题（文字语言）建模（数学语言）求解（数学应用）反馈（检验作答）.例六的解题过程，体现根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：6 [设计意图]通过总结用函数模型解释实际问题的基本流程，对学生完善函数的思想、激发应用数学的意识、培养分析问题和解决问题的能力、增强进行实践的能力等，都有很大帮助.四、运用新知练习1：某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要增加投入2500元。对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台.已知销售收入函数为：，其中是产品售出的数量，.（1）若为年产量，为利润，求的解析式；（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？练习2：18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：行星1（金星）2（地球）3（火星）4（？）5（木星）6（土星）7（？）距离0.71.01.65.210.0他研究行星排列规律后估测在火星和土星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你用函数的模型推测谷神星离太阳的平均距离，在土星外面是什么星？继续推测它与太阳的平均距离.大，其最大值是多少？【师生互动】学生自己动手动脑，分组讨论，投影学生做题过程，师生共同探究.[设计意图]通过两道练习题目，一方面检测学生的课堂领悟能力，另一方面让学生自己动手动脑体验完整的建立函数模型解决问题的过程.[设计说明]增强应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和做出判断.通过函数的实际应用，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，激发学习数学的热情，养成锲而不舍的钻研精神和科学态度.五、课堂小结6 函数基本模型的应用是第三章的重点内容之一，通过实例示范：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；2.会利用建立的函数模型解决实际问题；3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.4.渗透函数拟合的基本思想．通过比较、概括实例的求解过程，总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：[设计意图]函数模型的实际应用非常广泛，加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业课后练习P1061.2.书面作业P107A1B1[设计意图]巩固本节课建立函数模型解决实际问题.七、教后反思应用问题题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．  应用问题的处理应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题解决．用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．  应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主.由于课堂授课时间和多媒体教学条件的八、板书设计函数模型及其应用一、复习引入二、新授例例练习1练习2三、小结四、作业6