第三章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例基础巩固一、选择题1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A．100kmB．125kmC．150kmD．225km[答案] C[解析] t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150km，故选C.2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A．15B．40C．25D．130[答案] C[解析] 令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意：若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25，故选C.3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )A．14400亩B．172800亩C．20736亩D．17280亩[答案] D[解析] 设年份为x，造林亩数为y，则y＝10000×(1＋20%)x－1，∴x＝4时，y＝17280，故选D.4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A．30元B．42元C．54元D．越高越好[答案] B[解析] 设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．
由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)．上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.∴当x＝42时，利润最大，故选B.5．今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A．u＝log2tB．u＝2t－2C．u＝D．u＝2t－2[答案] C[解析] 可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B项，故选C.6．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是( )[答案] C[解析]
从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.二、填空题7．(2015·河北期中试题)某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x，则求两次降价的百分率列出的方程为________．[答案] 100(1－x)2＝81[解析] 因为两次降价的百分率相同，故列出的方程为100(1－x)2＝81.8．(2015·徐州高一检测)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010)．[答案] 4[解析] 设至少要洗x次，则(1－)x≤，∴x≥≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[解析] (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，解得所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本最低为Q＝·1502－
·150＋＝100(元/102kg)．10．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析] (1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6.∴总利润y＝8.25万元．②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.令＝t，t∈[0,3]，则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．能力提升一、选择题1．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度均加速开走，那么( )A．人可在7秒内追上汽车B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米D．人追不上汽车，其间距最少为7米[答案] D[解析] 设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D.2．随着我国经济不断发展，人均GDP(国内生产总值)呈高速增长趋势．已知2008年年底我国人均GDP为22640元，如果今后年平均增长率为9%，那么2020年年底我国人均GDP为( )A．22640×1.0912元B．22640×1.0913元C．22640×(1＋0.0912)元D．22640×(1＋0.0913)元[答案] A[解析] 由于2008年年底人均GDP为22640元，由2008年年底到2020年年底共12年，故2020年年底我国人均GDP为22640×1.0912元．3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是( )A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16[答案] D[解析] 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.4．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )[答案] D
[解析] 水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D.二、填空题5．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正的常数．由放射性元素的这种性质，可以制造出高精度的时钟，用原子数N表示时间t为________．[答案] t＝－ln[解析] N＝N0e－λt⇒＝e－λt⇒－λt＝ln⇒t＝－ln.6．(2015·湖南十校联考)如下图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通适2分钟，需付电话费________元；(2)通话5分钟，需付电话费________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．[答案] (1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)[解析] (1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．(3)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，则解得故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．三、解答题7．(2015·河北石家庄期末)大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务，其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少20%，那么要让有害气体减少到原来的5%，求至少要经过几次处理？参考数据：lg2≈0.3010.[解析] 设工业废气在未处理前为a，经过x次处理后变为y，则y＝a(1－20%)x＝a(80%)x.由题意得＝5%，
即(80%)x＝5%，两边同时取以10为底的对数得xlg0.8＝lg0.05，即x＝≈13.4.因而需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%.8．2015年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？[解析] (1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．由题意，得或或无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0；∴所求函数关系式为S＝t2－2t.(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，∴截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元．(3)第八个月公司所获利润为×82－2×8－×72＋2×7＝5.5，∴第八个月公司所获利润为5.5万元．
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