2021_2022学年高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例作业3含解析新人教A版必修120210629227

3.2.2函数模型的应用实例基础巩固一、选择题1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为(  )A．100kmB．125kmC．150kmD．225km[答案] C[解析] t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150km，故选C.2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(  )A．15B．40C．25D．130[答案] C[解析] 令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意：若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25，故选C.3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(  )A．14400亩B．172800亩C．20736亩D．17280亩 [答案] D[解析] 设年份为x，造林亩数为y，则y＝10000×(1＋20%)x－1，∴x＝4时，y＝17280，故选D.4．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是(  )A．x>22%B．x0且a≠1)．由图可知2＝a1.∴a＝2，即底数为2，∴说法①正确；∵25＝32>30，∴说法②正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法③不正确；t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3.∴说法④正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法⑤不正确．综上，①②④说法正确．10．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元).(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析] (1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6.∴总利润y＝8.25万元．②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.令＝t，t∈[0,3]，则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.能力提升一、选择题 1．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度均加速开走，那么(  )A．人可在7秒内追上汽车B．人可在10秒内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为5米D．人追不上汽车，其间距最少为7米[答案] D[解析] 设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D.2．随着我国经济不断发展，人均GDP(国内生产总值)呈高速增长趋势．已知2008年年底我国人均GDP为22640元，如果今后年平均增长率为9%，那么2020年年底我国人均GDP为(  )A．22640×1.0912元B．22640×1.0913元C．22640×(1＋0.0912)元D．22640×(1＋0.0913)元[答案] A[解析] 由于2008年年底人均GDP为22640元，由2008年年底到2020年年底共12年，故2020年年底我国人均GDP为22640×1.0912元．3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是(  )A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16[答案] D [解析] 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.4．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是(  )[答案] D[解析] 水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D.二、填空题5．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正的常数．由放射性元素的这种性质，可以制造出高精度的时钟，用原子数N表示时间t为________.[答案] t＝－ln[解析] N＝N0e－λt⇒＝e－λt⇒－λt＝ln⇒t＝－ln.6．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB).[答案] 45 [解析] 设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15.故时间为15×3＝45(分钟)．三、解答题7．大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务，其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少20%，那么要让有害气体减少到原来的5%，求至少要经过几次处理？参考数据：lg2≈0.3010.[解析] 设工业废气在未处理前为a，经过x次处理后变为y，则y＝a(1－20%)x＝a(80%)x.由题意得＝5%，即(80%)x＝5%，两边同时取以10为底的对数得xlg0.8＝lg0.05，即x＝≈13.4.因而需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%.8．2015年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？[解析] (1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)． 由题意，得或或无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0；∴所求函数关系式为S＝t2－2t.(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，∴截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元．(3)第八个月公司所获利润为×82－2×8－×72＋2×7＝5.5，∴第八个月公司所获利润为5.5万元．