第三章 函数的应用3.2.2 函数模型的应用实例
1．了解函数模型的广泛应用．(重点、难点)2．掌握通过建立函数模型解决应用题的基本方法和步骤．(重点、难点)
1．常用的函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：_______________________；(3)二次函数模型：________________________________；(4)指数函数模型：____________________________________________；y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)y＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)
(5)对数函数模型：_____________________________________________；(6)幂函数模型：________________________________________________；(7)分段函数模型；y＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a＞0，a≠1)y＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)
2．应用函数模型解决问题的基本过程
1．想一想生活实际问题中，自变量的取值范围往往有何要求？提示：生活实际问题中，自变量需考虑生活实际意义，不能只注重函数解析式自身的限制要求．
求解函数应用题的程序
概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
利用已知函数模型解决问题某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c如图所示．
(1)求函数y1，y2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获得最大利润．
1．已知函数模型解决实际问题的应用题主要有以下两种类型：(1)给出函数解析式的；(2)给出函数类型，可利用待定系数法求得函数解析式的．2．读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解题思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助图象和列表来理清它．
自建函数模型解决问题
(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？思路点拨：可建立指数函数模型求解．
建立数学模型一定要过好三关：(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．
2．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表.天数123456病毒细胞个数12481632
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，lg2＝0.3010)
解：(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(n∈N＋)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N＋)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27，即第一次最迟应在第27天注射该种药物．(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%×2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2＋lg2－2＋xlg2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物．
我国农业科学家研究玉米植株生长高度与时间的函数关系的例子．下表给出了某地区玉米在不同阶段的高度数据：建立拟合函数解决实际问题生长阶段x12345678植株高度y(cm)0.670.851.281.752.272.753.694.71生长阶段x910111213141516植株高度y(cm)6.367.739.9112.7516.5520.127.3532.55
生长阶段x1718192021222324植株高度y(cm)37.5544.7553.3871.6183.8997.46112.73135.12生长阶段x25262728293031植株高度y(cm)153.6160.32167.05174.9177.87180.19180.79
以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图形，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段的函数图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相似．下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式．假设指数函数y＝aebx，并且通过点(2,0.85)和(23,112.73)，把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得a≈0.534，b≈0.233.因此，用指数函数近似得到的关系式为y＝f(x)＝0.534e0.233x.
(2)由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下：生长阶段x1234567函数值f(x)0.670.851.071.361.712.162.73生长阶段x891011121314函数值f(x)3.444.355.496.938.7511.0413.94生长阶段x15161718192021函数值f(x)17.6022.2128.0435.4044.6956.4171.21生长阶段x22232425函数值f(x)89.89113.48143.26180.85
从表中我们可以清楚地看出，第1到第6生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面数据误差较大．这个指数函数反映了在玉米生长的后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于某一数值附近不符．
数据拟合问题的三种求解策略(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解．(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较．
(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决．
3．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示：
年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm，可以灌溉土地多少公顷？解：(1)描点作图如下：
易错误区系列(十) 在解答应用题时，因忽略自变量的实际意义导致定义域错误，从而造成整个问题的求解错误如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b
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