3.2.2 函数模型的应用实例
[目标导航]课标要求1.了解函数模型的广泛应用.2.能够利用已知的函数模型求解实际问题.3.通过对数据的合理分析,能够建立数学模型解决实际问题.4.能归纳掌握求解函数应用题的步骤.素养达成1.通过函数模型的广泛应用培养数学抽象、直观想象的核心素养.2.通过利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型,解决实际问题培养数学运算以及数学建模的核心素养.
新知导学·素养养成1.函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题.(2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.2.常见的函数模型ax+b(a,b为常数且a≠0)函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=.反比例函数模型f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型f(x)=.指数型函数模型f(x)=.对数型函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)=.ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)k·ax+b(k,a,b为常数且a>0,a≠1,k≠0)k·xn+b(k,b,n为常数,且k≠0)
3.建立函数模型解决问题的基本过程
课堂探究·素养提升题型一 利用已知函数模型解决问题[例1](12分)普益财富是国内最具专业价值的第三方理财平台.它的某种基金类产品在30天内每份的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)恰好落在如图中的两条线段上,该基金类产品在30天内(包括第30天)的日交易量Q(万份)与时间t(天)的部分数据如表所示.第t天5101423Q(万份)2520167
规范解答:(1)①由题图知该基金类产品每份交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数图象为两条线段,且在0～20天,图象经过点(0,2)和(20,6),在20～30经过点(20,6)和(30,5),(1)①根据提供的图象,写出该基金类产品每份交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;②根据表中数据确定日交易量Q(万份)与时间t(天)的一次函数关系式;(2)在(1)的结论下,用y(万元)表示该基金类产品日交易额(日交易额=每份交易价格×日交易量),写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几天的日交易额最大,最大值为多少?
方法技巧利用已知函数模型求解实际问题时,要注意根据函数模型的特点寻找规律.涉及分段函数模型时,由于分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变化量的范围,特别是端点值.
即时训练1-1:据市场分析,烟台某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系;
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获得最大利润?
题型二 指数型函数模型[例2]诺贝尔奖发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加,假设基金平均年利率为r=6.24%,资料显示:2003年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元,设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(2003年记为f(1),2004年记为f(2),…,依此类推).(1)用f(1)表示f(2)和f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;
(2)试根据题中所给信息,判断2013年度的诺贝尔奖各项奖金为多少?(参考数据:1.03129≈1.32)
方法技巧
题型三 对数型函数模型
(2)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min,雌鸟的飞行速度为1.5km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍?
方法技巧(1)形如y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其特点为当a>1,m>0时,y随自变量x的增大而增大,且函数值增大的速度越来越慢.(2)对于对数型函数模型问题,关键在于熟练掌握对数函数的性质,在认真审题的基础上,分析清楚底数a与1的大小关系,要关注自变量的取值范围.借助于数学模型解决数学问题的同时,实际问题也得以顺利解决,这就是函数模型的作用.
即时训练3-1:某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过15万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过15万元时,若超过部分为A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励,没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记奖金总额为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式;
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?解:(2)由题意知老张的销售利润超过15万元,故1.5+2log5(x-14)=5.5,所以x=39,所以他的销售利润是39万元.
题型四 易错辨析[例4]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数.现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y=10+2x+2x2(万元),若售出一件商品的价格是20万元,那么该企业所能获取的最大利润是多少?错解:设该企业所能获取的利润为z万元,则z=20x-(10+2x+2x2),即z=-2x2+18x-10=-2(x-4.5)2+30.5,故z的最大值为30.5,即该企业所能获取的最大利润为30.5万元.
纠错:(忽视自变量的实际意义)题目中的条件已经暗示了x为自然数,而错解中却是在x=4.5时取到的最大值30.5.正解:设该企业所能获取的利润为z万元,则z=20x-(10+2x+2x2)(x∈N),即z=-2x2+18x-10=-2(x-4.5)2+30.5,故当x=4或5时,z取最大值30,即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大,为30万元.
1.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林()(A)14400亩(B)172800亩(C)17280亩(D)20736亩2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车运营的利润y与运营年数x(x∈N)为二次函数关系(如图),则客车有运营利润的时间不超过()(A)4年(B)5年(C)6年(D)7年课堂达标CD
3.据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是()(A)y=0.1x+800(0≤x≤4000)(B)y=0.1x+1200(0≤x≤4000)(C)y=-0.1x+800(0≤x≤4000)(D)y=-0.1x+1200(0≤x≤4000)D
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