《函数模型的应用实例》教学设计龚红玲一、教学内容普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2函数模型的应用实例.二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；2.会利用建立的函数模型解决实际问题；3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程；2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心；2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度；3.经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点.三、教材分析本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.四、学情分析学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.五、教学过程（一）交流成果提出课题学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题.【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题.（二）分析探究解决实例【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图1所示.
（1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象.【教学活动1】第（1）题：阴影部分面积为五个小矩形的面积之和，那么只要知道求其中一个矩形的面积并知道其实际意义，就能解决整个问题.因此，我借助多媒体设置动画，引导学生对第一个矩形进行分析，让学生说出它的长度、宽度各是多少？其实际意义分别是什么？根据“矩形面积＝长×宽＝速率×时间＝路程”，学生就能很快说出第一个矩形的面积及其实际意义，整个问题也就迎刃而解了.【设计意图】利用从“局部到整体”、“特殊到一般”的思想分析问题,从而化解难点,教会学生分析问题的方法.【教学活动2】第（2）题：重点分析如何建立s与t的函数关系式.由于“汽车里程表读数s＝2010＋汽车行驶路程”，而汽车行驶的路程＝速率×时间，分析v与t的图象，得v是t的分段函数，从而s是t的分段函数.求这个分段函数的解析式，关键是求出前两段的函数解析式.其中求第二段函数解析式是难点.由第一问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积.设置多媒体动画重点分析：t在0至2小时内变化时，s与t的函数解析式变化，使得有效突破难点.然后让学生自主完成整个题目的解答，并利用实物投影仪展示学生的解答过程，师生共同点评，得出下列结论：（1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1+65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.(2)据v与t的关系图，有这个函数的图象如图2所示.【设计意图】通过本例的教学，让学生体会建立分段函数模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合、分类整合的数学思想，养成自主探究与合作交流相结合的学习习惯.【例2】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？【教学活动】对本例的教学，重点解决如下三个问题：（1）指导学生审题后提炼出题目中的已知条件与要解决的任务.已知：固定成本为200元；每桶水的进价是5元；销售单价与日均销售量之间的数据表格；任务：定价为多少时利润最大？（2）指导学生分析表格数据，建立日均销售量与销售单价之间的函数模型；从而建立利润与售价之间的函数关系；
（3）实际问题中自变量取值范围的确定.为此我设计了下列问题，引导学生自主探究、讨论交流：①利润与哪些量有关？试用等式表示.利润＝销售的金额－销售成本－固定成本（或利润＝单桶水的销售利润×销售量－固定成本）.②分析表格数据，日均销售量随销售单价的变化规律是什么？销售单价在6元基础上每涨价1元销售量就减少40桶.③当销售单价为x元/桶时，销售量为多少？销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).④销售单价x受哪些条件的制约？其取值范围是什么？x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18.在解决上述问题后要求学生自主完成本例的解答，再用实物投影仪展示学生的解题作品.考虑到本例的自变量还可以是每桶水在进价基础上的增加量，因而我设置了链接，以达到预设与生成的和谐统一.【设计意图】让学生体验解决实际问题的过程和方法.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.通过上述分析，预设学生得出以下两种解法：解法一：设每桶水定价为x元时，日均销售利润为y元.因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则日均销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).由于x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18，所以y＝(720－40x)(x－5)－200＝－40x2＋920x－3800，5＜x＜18.易知，当x＝11.5时，y有最大值.故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.解法二：设每桶水在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元.因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则日均销售量＝480－40(x－1)＝520－40x(桶).由于x＞0且520－40x＞0，即0＜x＜13，所以y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.易知，当x＝6.5时，y有最大值.故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.【设计意图】通过本例的教学，使学生感知提取数表信息、抽象函数关系的思维过程，领悟建立函数模型解决最值问题的基本方法，渗透化归转换的数学思想.（三）反思过程发现规律【教学活动】通过比较、概括上述两个实例的求解过程，我引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：实际问题函数模型函数模型的解实际问题的解抽象概括推理演算还原说明【设计意图】学会归纳、总结解决数学问题的思维方法，掌握建立函数模型解决实际问题的一般规律，提高理性思维能力.（四）反馈调控方法迁移【练习】某上市公司股票在30天内每股的日交易均价P(元)与时间t
(天)组成有序数对(t，P)，且点(t，P)落在图中的两条线段上.该股票在30天内（含30天）的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418（1）写出这支股票每股的日交易均价P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；（3）求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少万元？【教学活动】通过前面的学习与思考，学生对解决这类问题已有一定的方法基础，面对本题表现出一种一展身手的亢奋状态.我要求学生以自主探索与合作交流相结合的方式对本问题求解，老师巡视答疑，再抽取几份不同解答的答卷作实物投影展示，师生一起评价、纠错，形成共同解答.【解析】(1)当时,设,由图象得，解得，即；同样的方法可求得当时，.综上可得，(2)设,由题意知：，即，解得.所以：（3）设第t天的日交易额为f(t)万元，则即
当时，当时，所以这30天中第15天的日交易额最大，最大日交易额为125万元.【设计意图】选择一个既有图形，又有数表的实例，能有效地检测、反馈学生对两类建立函数模型的应用问题的掌握程度，同时培养学生在综合问题情境中对知识和方法的迁移能力.（五）归纳小结深化认识引导学生从总结解题方法，提炼数学思想等方面对本节课所学内容进行归纳小结.（1）建立函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？（2）在本节课的学习过程中，运用到了哪些数学思想方法？【设计意图】启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程.（六）布置作业巩固提高课外作业：必做题：教材P106练习第1题，P107习题3.2A组第3，4题.选做题：P108习题3.2B组第2题.【设计意图】让学生巩固函数建模的思想方法，并进行自我检测与评价.通过分层作业，体现对不同能力层次的学生有不同学习要求.
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