函数模型的应用实例
到目前为止,我们已经学习了哪些常用函数?一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数(a≠0)导入新课
大家首先来看一个例子邮局规定,邮寄包裹,在5千克内每千克5元,超过5千克的超出部分按每千克3元收费,邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____.f(x)=从中可以知道,函数与现实世界有着紧密的联系,有着广泛应用的,那么我们能否通过更多的实例来感受它们的应用呢?若能的话,那么如何在实际问题中建立函数模型呢?
x13452y20002100220023002400......分段函数是刻画现实世界的重要模型
解决应用题的一般程序是:①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;③解模:求解数学模型,得出数学结论;④还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.
例4:人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:其中t表示经过的时间,表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率。
下面是1950~1959年我国的人口数据资料:55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;1950195119521953195419551956195719581959(2)如果按表中数据的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?
于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率为
5000055000600006500070000012345ty6789由上图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人中数据基本吻合.
(2)将y=1300000代入y=55196e0.0221t,由计算机可得:t≈38.76这就是说按照这个增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年),我国的人口就已经达到13亿。如果不实行计划生育,而让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力!
解模验模用模
例5某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示:请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240
分析:由表中信息可知①销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好?解:设在进价基础上增加x元后,日均经营利润为y元,则有日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶)而有最大值只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润。
解模验模用模选模
例6某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表所提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?
作出散点图分析
画出大致图像
观察这个图象,发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线,根据这些点的分布情况,我们可以考虑用函数y=a•bx来近似反映.解:⑴将已知数据输入计算机,画出图象;如果取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25)根据图象,选择函数进行拟合.代入函数由计算器得从而函数模型为
⑵将x=175代入得由计算器计算得y≈63.98,所以,这个男生偏胖.由于
给出数据建模的程序收集数据画散点图选择模型求解模型检验模型使用模型不符合
注意点:1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求.2.在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语言,如引入字母,列表,画图等使实际问题数学符号化.3.对于建立的各种数学模型,要能够模型识别,充分利用数学方法加以解决,并能积累一定数量的典型的函数模型,这是顺利解决实际问题的重要资本.
小结本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题,要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤.函数的应用问题是高考中的热点内容,必须下功夫练好基本功.本节涉及的函数模型有:一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数.其中,最重要的是二次函数模型.
1.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现,每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系:每间每天房价住房率20元18元16元14元65%75%85%95%要使每天收入达到最高,每间定价应为()A.20元B.18元C.16元D.14元2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少20个,为了取得最大利润,每个售价应定为()A.95元B.100元C.105元D.110元CA课后练习
3.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为( )(参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771)A.5B.10C.14D.15C
4.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示),则围成的矩形最大面积为________m2(围墙厚度不计).2500
产后病
产后病概论概念:产妇在新产后至产褥期中所发生与分娩或产褥有关的疾病。三冲:冲心、冲胃、冲肺特征三病:病痉、郁冒、大便难三急:呕吐、泄泻、多汗三脱:气脱、血脱、神脱病因病机:1、亡血伤津、阴血死亡2、瘀血内阻、败血为病3、易为外感六淫、饮食房劳所伤
产后病概论诊断:先审小腹痛与不痛辨恶露之有无停滞三审次审大便通与不通验津液之盛衰再审乳汁的行与不行和饮食多少察胃气的强弱治疗:“勿拘于产后,也勿忘于产后”汗禁下利小便
产后血晕概念:病因病机:血虚气脱:神无所养,魂无所主血晕瘀阻气闭:败血上冲,扰乱清窍诊断:与郁冒、痫、痉鉴别。辨证论治:分虚临产失血过多,出血多,无小腹满痛实败血上扰,出血少,小腹满痛治虚大补气血实逐瘀行血分型血虚气脱:独参汤血瘀气闭:夺命散
产后痉证概念:病因病机:阴血亏虚,筋脉失养痉感染邪毒,筋脉拘急诊断:与子痫及癫痫鉴别辨证论治:天麻阴血亏虚三甲复脉汤钩藤感染邪毒撮风散石菖蒲
产后腹痛概念广义:一切腹痛狭义:小腹疼痛病因病机血虚:迟滞不汤痛血瘀:阻滞不汤诊断:与伤食腹痛,感染邪毒腹痛鉴别分虚实:腹痛性质恶露特点辨证论治:治则:补虚祛瘀血虚:肠宁汤分型:血瘀:生化汤
产后恶露不绝概念:产后恶露持续20天以上仍淋漓不断者。气虚:冲任不固病因病机血热:迫血妄行血瘀:血不归经诊断:排除:产道损伤、胎盘残留绒毛膜癌、凝血机制障碍
产后恶露不绝辨证:辨恶露性质要点审小腹痛与不痛结合痛大与舌脉原则:补、清、攻分型:气虚补中益气汤血热保阴煎血瘀生化汤
产后发热概念:在产褥期内,出现发热持续不退,或突然高热寒战,并伴其它症状者称。病因病机感染邪毒:正邪交争血瘀:瘀滞气机发热外感:营卫不和血虚:虚阳外浮诊断:与伤食发热,蒸乳发热鉴别。辨证论治:要点:发热特点、腹痛、恶露、舌、脉鉴别治则:调气血,和营卫。
产后发热分型感染邪毒:(五味消毒饮)解毒活血汤血瘀:生化汤外感:荆防四物汤血虚:八珍汤伤食:四君子汤十山楂,伤食:四君子汤十山楂、神曲、鸡内金蒸乳:瓜萎散
缺乳概念:产后乳汁甚少,甚或全列者称缺乳。气血虚弱:化源不足病因病机 缺乳肝郁气滞:乳汁运行不畅诊断:与乳痈鉴别辨证论治: 要点:辨虚实补治则通分型 气血虚弱:通乳丹肝郁气滞:下乳通泉散
产后排尿异常概念: 小便不通产后发生 尿意频数 统称产后排尿异常甚则小便失禁者病因病机气虚 制约无权 小便不通肾虚 膀胱气化失职外伤 气化不利 或频数失禁气滞