2022年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例 课件 新人教A版必修1

2018_2019学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版必修13.2.2函数模型的应用实例目标导航课标要求1.会利用已知函数模型解决实际问题..2.能建立函数模型解决实际问题..3.了解拟合函数模型并解决实际问题..素养达成通过本节内容的学习,,使学生认识函数模型的作用,,提高学生数学建模,,数据分析的能力..新知探求课堂探究新知探求素养养成【情境导学】导入某商场销售一批名牌衬衫,,平均每天可售出20件,,每件盈利40元,,为了扩大销售,,增加盈利,,尽快减少库存,,商场决定采取适当降价措施..经调查发现,,如果每件衬衫每降价11元,,商场平均每天多售出22件..于是商场经理决定每件衬衫降价15元..想一想如何判定经理的决定是否正确??((引入变量,,建立数学模型,,利用数据来判定))知识探究1.函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题..(2)建立恰当的函数模型,,并利用所得函数模型解释有关现象,,对某些发展趋势进行预测..ax+b(a,b为常数且a0)2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=..反比例函数模型f(x)=+b(k,b为常数且k0)kx二次函数模型f(x)=..指数型函数模型f(x)=..对数型函数模型f(x)=blogaax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)幂函数型模型f(x)=..ax22+bx+c(a,b,c为常数且a0)kaxx+b(k,a,b为常数且a0,a1,k0)kxnn+b(k,b,n为常数,,且k0)3.建立函数模型解决问题的基本过程自我检测1.((指数型函数模型))某林场计划第一年造林10000亩,,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林(())(A)14400亩(B)172800亩(C)17280亩(D)20736亩22.(二次函数模型))某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营..据市场分析,,每辆客车运营的利润yy与运营年数x(xNN))为二次函数关系((如图),则客车有运营利润的时间不超过(())(A)4年(B)5年(C)6年(D)7年CCDDD3.((一次函数模型))据调查,,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次,,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,,普通车存车费是每辆一次0.2元,,若普通车存车数为xx辆次,,存车费总收入为yy元,,则yy关于xx的函数关系式是(())(A)y=0.1x+800(0x4000)(B)y=0.1x+1200(0x4000)(C)y=--0.1x+800(0x4000)(D)y=--0.1x+1200(0x4000)44..((对数型函数模型))某种动物繁殖数量y(只))与时间x(年))的关系为y=alog22(x+1),若这种动物第一年有100只,,则到第15年会有只只..答案::400题型一利用已知函数模型解决问题课堂探究素养提升【例11】一个自来水厂,,蓄水池中有水450吨,,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水总量为160吨,,现在开始向水池中注水并同时向居民小区供水..(1)问多少小时后,,蓄水池中水量最少??5t解::(1)设tt小时后蓄水池中水量最小,,且蓄水量为yy吨,,则y=450+80t--1605t=80(t))22--1605t+450=80[(t))22--225t+5]+50=80(t--5))22+50.当t==5,,即5t=5时蓄水池中蓄水量最少..(2)若蓄水池中水量少于150吨时,,就会出现供水紧张现象,,问每天有几小时供水紧张??解::(2)若80(t))22--1605t+450150,即80(t))22--1605t+3000.其对应方程的两个根1t==152,,2t==352..所以|t22--tt11|=（352）22--（152）22=10(小时).即每天有010小时供水紧张..方法技巧由于分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同,,可以先将其当作几个问题,,将各段的变化规律分别找出来,,再将其合到一起,, 要注意各段变化量的范围,,特别是端点值..【备用例11】某公司试销一种新产品,,规定试销时销售单价不低于成本单价500元//件,,又不高于800元//件,,经试销调查,,发现销售量y(件))与销售单价x(元//件),可近似看作一次函数y=kx+b的关系((图象如图所示).(1)根据图象,,求一次函数y=kx+b的解析式;;解::(1)由图象可知,,400600,300700,kbkb=´+ìí=´+î解得1,1000,kb=-ìí=î所以y=--x+1000(500xx800).(2)设公司获得的毛利润((毛利润==销售总价--成本总价))为SS元,,①求SS关于xx的函数解析式;;②求该公司可获得的最大毛利润,,并求出此时相应的销售单价..解::(2)①由(1)S=xyy--500y=(--x+1000)(x--500)==--xx22+1500x--500000(500x800).②由①可知,S=--(x--750)22+62500,其图象开口向下,,对称轴为x=750,所以当x=750时,Smax=62500.即该公司可获得的最大毛利润为62500元,,此时相应的销售单价为750元//件..【备用例22】某租赁公司拥有汽车100辆,,当每辆车的月租金为3000元时,,可全部租出..当每辆车的月租金每增加50元时,,未租出的车将会增加一辆..租出的车每辆每月需要维护费150元,,未租出的车每辆每月需要维护费50元..(1)当每辆车的月租金定为3600元时,,能租出多少辆车??解::(1)当每辆车的月租金定为03600元时,,未租出的车辆数为3600300050-=12,所以这时租出了888辆车..(2)当每辆车的月租金定为多少元时,,租赁公司的月收益最大??最大月收益是多少??解::(2)设每辆车的月租金定为xx元,,则租赁公司的月收益为f(x)=（100--300050x-）(x--150)--300050x-50,整理得f(x)=--250x+162x--21000=--150(x--4050)22+307050.所以当0x=4050时,f(x)最大,,最大值为f(4050)=307050,即当每辆车的月租金定为04050元时,,租赁公司的月收益最大,,最大月收益为0307050元..题型二指数型函数模型【例22】已知某城市2017年底的人口总数为200万,,假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素).(1)若经过xx年该城市人口总数为yy万,,试写出yy关于xx的函数关系式;;(2)如果该城市人口总数达到210万,,那么至少需要经过多少年((精确到11年)?解::(1)y=200(1+1%)xx..(2)令y=210,即200(1+1%)xx=210,解得x=log1.011.055.答::至少需要经过55年该城市人口总数达到210万..方法技巧此类增长率问题,,在实际问题中常可以用指数型函数模型y=N(11+p)xx((其中NN是基础数,p为增长率,x为时间))和幂函数型模型y=a(1+x)nn((其中aa为基础数,x为增长率,n为时间))的形式来表示..即时训练22--11::物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述::设物体的初始温度是TT00,,经过一定时间tt后的温度是T,则TT--TT=(T00--TT))12thæöç÷èø,,其中TT表示环境温度h,h称为半衰期..现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,,放在24℃的房间中,,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,,需要多长时间((结果精确到0.1)?解::由题意知40--24=(88--224)2012hæöç÷èø,,即14==2012hæöç÷èø,,解得h=10,故TT--24=(88--24)1012tæöç÷èø,,当5T=35时,,代入上式,,得35--24=(88--24)1012tæöç÷èø,,即1012tæöç÷èø==1164,,两边取对数,,用计算器求得tt25.4.因此,,约需要25.4min,可降温到35℃..题型三对数型函数模型【例33】国际视力表值((又叫小数视力值,,用VV表示,,范围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值((又叫对数视力值,,由缪天容创立,,用LL表示,,范围是[4.0,5.2])的换算关系式为L=5.0+lgV.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整::VV1.5②②0.4④④LL①①5.0③③4.0解::(1)因为5.0+lg1.5=5.0+lg1510=5.0+lg32=5.0+lg3--lg2=5.0+0.4771--0.30105.2,所以①应填5.2;因为5.0=5.0+lgV,所以V=1,②处应填1.0;因为5.0+lg0.4=5.0+lg410=5.0+lg4--1=5.0+2lg2--1=5.0+20.3010--114.6,所以③处应填4.6;因为4.0=5.0+lgV,所以lgV=--1.所以V=0.1.所以④处应填0.1.对照表补充完整如下::VV1.51.00.40.1LL5.25.04.6 4.0(2)甲、乙两位同学检查视力,,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的22倍,,求乙的对数视力值..((所求值均精确到小数点后面一位数字,,参考数据:lg20.3010,lg30.4771)解::(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值,,则有4.5=5.0+lgV甲,,所以VV甲=10--0.5,,则VV乙=210--0.5..所以乙的对数视力值LL乙=5.0+lg(210--0.5)=5.0+lg2--0.5=5.0+0.3010--0.54.8.方法技巧(1)形如y=mlogaax+n(a0,a1,m0),其特点为当a1,m0时,y随自变量xx的增大而增大,,且函数值增大的速度越来越慢..(2)对于对数型函数模型问题,,关键在于熟练掌握对数函数的性质,,在认真审题的基础上,,分析清楚底数aa与11的大小关系,,要关注自变量的取值范围..借助于数学模型解决数学问题的同时,,实际问题也得以顺利解决,,这就是函数模型的作用..解::(1)M=lgA--lgA00=lg0AA=lg200.002=4.即这次地震的震级为44级..【备用例33】20世纪70年代,,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,,地震能量越大,,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA--lgA00..其中AA是被测地震的最大振幅,A00是标准地震的振幅..(1)假设在一次地震中,,一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.002,计算这次地震的震级;;(2)5级地震给人的震感已比较明显,,我国发生在汶川的88级地震的最大振幅是55级地震的最大振幅的多少倍??(2)50805lglg,8lglg,AAAA=-ìí=-îlg85AA=3,85AA=1000,即我国发生在汶川的88级地震的最大振幅是55级地震的最大振幅的01000倍..题型四易错辨析忽略限制条件致误【例44】如图所示,,在矩形ABCD中,,已知AB=a,BC=b(ba),在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x.问::当xx为何值时,,四边形EFGH的面积最大??并求出最大面积..错解::设四边形HEFGH的面积为S,则S=ab--22[[12xx22++12(a--x)(b--x)]]==--2x22+(a+b)x==--22((xx--4ab+))22++()28ab+..根据二次函数的性质可知,,当x=4ab+时S,S有最大值()28ab+..正解::设四边形HEFGH的面积为S,则S=ab--22[[12xx22++12(a--x)(b--x)]]==--2x22+(a+b)x==--22((xx--4ab+))22++()28ab+,x(0,b].因为0ba,所以0b2ab+..若4ab+b,即aa3b,则当x=4ab+时S,S有最大值()28ab+;;纠错::没有考虑二次函数的定义域就直接利用二次函数的性质求解,,从而导致出错..当4ab+b,即ba3b时,,易知函数在(0,b]上是增函数,,所以当bx=b时S,S有最大值ab--bb22..综上可得,,当aa3b,x=4ab+时S,S有最大值()28ab+;;当ba3b,x=b时S,S有最大值ab--bb22..【备用例44】如图,,△OAB是边长为22的正三角形,,记△OAB位于直线x=t(t0)左侧的图形的面积为f(t),则函数f(t)的解析式为..答案::f(t)=(]()(]()223,0,1,2332,1,2,23,2,.tttttìÎïïïï--ÎíïïÎ+¥ïïî【备用例55】某公司生产一种电子仪器的固定成本为020000元,,每生产一台仪器需增加投入0100元,,已知总收益满足函数::R(x)=21400,0400,280000,400.xxxxì-££ïíï>î其中xx是仪器的月产量..(1)将利润表示为月产量的函数f(x);解::(1)设月产量为xx台,,则总成本为20000+100x,从而f(x)=2130020000,0400,260000100,400.xxxxxì-+-££ïíï->î(2)当月产量为何值时,,公司所获得利润最大??最大利润为多少元?(总收益==总成本++利润))解::(2)当00xx0400时,,f(x)=--12(x--300)22+25000.所以当0x=300时,f(x)的最大值为25000;当0x400时,,f(x)=60000--x100x是减函数,,f(x)60000--100400=2000025000.所以当0x=300时,f(x)的最大值为25000.即每月生产0300台仪器时,,利润最大,,最大利润为25000元..