第2课时指数型、对数型函数模型的应用实例
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府不采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每期利率为r，本利和为y,存期为x,则复利函数式为y=p(1+r)x.思路分析
解：1期后本利和为：2期后本利和为：……x期后，本利和为：将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式：由计算器算得：y=1117.68（元）
其中t表示经过的时间，表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
年份1950195119521953195419551956195719581959人数／万人55196563005748258796602666145662828645636599467207下表是1950～1959年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿?
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为于是,1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为由可得1951的人口增长率为同理可得，
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.令则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为
由图可以看出,所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.（1）将y=130000代入由计算器可得
（2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)，求该处的海拔h（c,k为常量）y=cekx在海拔5(km)处的大气压强为0.5683(105Pa)，在海拔5.5(km)处的大气压强为0.5366(105Pa)，（1）问海拔6.712(km)处的大气压强约为多少？（精确到0.0001)y与x之间的函数关系式是是y(105Pa)，练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强
解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366代入函数表达式y=cekx，得：把x=6.712代入上述函数式，得≈0.4668(105Pa)答：6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.5066答:该处的海拔为6(km)解得x=6(km)
例3以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表身高(cm)体重(kg)607080901001101201301401501601706.137.909.9912.1515.0217.5026.8620.9231.1138.8547.2555.05⑴根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数的解析式．⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175cm体重78kg，他的体重是否正常？
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数y=a•bx来近似反映.解：⑴将已知数据输入计算机，画出图像；如果取其中的两组数据（70，7.90）（160，47.25）根据图像，选择函数进行拟合．代入函数由计算器得从而函数模型为
将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为⑵将x=175代人得有计算器计算得y≈63.98，所以，这个男生体重偏胖．由于
点评：函数拟合与预测的步骤：⑴能够根据原始数据、表格,绘出散点图；⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的．
⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或
解：设二次函数为：由已知得所以当x=4时，
又对于函数由已知得：所以当x=4时，
由四月份的实际产量为1.37万件,∴选用函数作模拟函数较好。
（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法:（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
2.本节课的体会：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.
勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。
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