20111101 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用实例
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20111101 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用实例

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资料简介
第2课时指数型、对数型函数模型的应用实例 (1)能够利用给定的指数(或对数函数)模型或建立确定函数模型解决实际问题;(3)进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法,对给定的函数模型进行简单的分析评价.(2)能够收集图表数据信息,建立拟合函数解决实际问题; 2003年5月8日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目,马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于5月19日初步完成了第一批成果,并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真,结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分析报告说,就全国而论,非典病人延迟隔离1天,就医人数将增加1000人左右;若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数100人左右;若4月21日以后,政府不采取隔离措施,则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据,建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 例1.按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元,每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少?复利是计算利率的一个方法,即把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息.思路分析由计算器算得:y=1117.68(元) 设本金为P,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则复利函数式为:y=p(1+r)x.复利是计算利率的一个方法,即把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息.结论: 其中t表示经过的时间,表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型: 年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207下表是1950~1959年我国的人口数据资料:(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;(2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿? 解:(1)设1951~1959年的人口增长率分别为于是,1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为由可得1951的人口增长率为同理可得, 根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.令则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 由图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.(1)将y=130000代入由计算器可得 (2)海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa),求该处的海拔h(c,k为常量)y=cekx在海拔5(km)处的大气压强为0.5683(105Pa),在海拔5.5(km)处的大气压强为0.5366(105Pa),(1)问海拔6.712(km)处的大气压强约为多少?(精确到0.0001)y与x之间的函数关系式是是y(105Pa),练习:科学研究表明:在海拔x(km)处的大气压强 解:(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366代入函数表达式y=cekx,得:把x=6.712代入上述函数式,得≈0.4668(105Pa)答:6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa). (2)由1.01·e-0.115x=0.5066答:该处的海拔为6(km)解得x=6(km) 例3以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表身高(cm)体重(kg)607080901001101201301401501601706.137.909.9912.1515.0217.5026.8620.9231.1138.8547.2555.05⑴根据上表中各组对应的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数的解析式.⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么该地某校一男生身高175cm体重78kg,他的体重是否正常? 分析:(1)根据上表的数据描点画出图象(如下) (2)观察这个图象,发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线,根据这些点的走向趋势,我们可以考虑用函数y=a•bx来近似反映.解:⑴将已知数据输入计算机,画出图像;如果取其中的两组数据(70,7.90)(160,47.25)根据图像,选择函数进行拟合.代入函数由计算器得从而函数模型为 将已知数据代人所得函数关系式,或作出所得函数的图象,可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系.所以,该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为⑵将x=175代人得有计算器计算得y≈63.98,所以,这个男生体重偏胖.由于 点评:函数拟合与预测的步骤:⑴能够根据原始数据、表格,绘出散点图;⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,一“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况几乎是不可能发生的. ⑷利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.⑶根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. 为常数),已知四月份该产品的产量为1.37万件,请问:用以上那个函数作模拟函数较好?说明理由。练习:某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为估计以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可选用二次函数或 解:设二次函数为:由已知得所以当x=4时, 又对于函数由已知得:所以当x=4时, 由四月份的实际产量为1.37万件,∴选用函数作模拟函数较好。 (2)利用待定系数法,确定具体函数模型;1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法:(3)对所确定的函数模型进行适当的评价;(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系;(4)根据实际问题对模型进行适当的修正. 2.本节课的体会:根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观察图象,判断问题适用的函数模型,借助计算器或计算机数据处理功能,利用待定系数法得出具体的函数解析式,再利用得到的函数模型解决相应的问题,这是函数应用的一个基本过程. 勇气产生在斗争中,勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。

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