2013-2014版高中数学 3.2-3.2.2函数模型的应用实例同步训练 新人教a版必修1

3.2.2 函数模型的应用实例基础达标1．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是(  )． A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.答案 D2．据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系图最可能是下图中的(  )．解析 销售收入不变，∴xy＝c(定值)，∴y＝.答案 C3．(2013·杭州高一检测)衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(  )．A．125B．100C．75D．50解析 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则 a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75.答案 C4．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大．此时x＝________，面积S＝________.解析 根据题目条件0＜＜3，即0＜x＜6，所以S＝(4＋x)＝－(x2－2x－24)＝－(x－1)2(0＜x＜6)．故当x＝1时，S取得最大值.答案 1 5．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg2≈0.301，lg3≈0.477)解析 当N＝40时，则t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg5－2lg3)＝36.72.答案 36.726．图中一组函数图象，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境A：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)； 情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度；情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润；其中情境A，B，C，D分别对应的图象是________．解析 对于A，加热时升温快，然后再变凉，易知为①；对于B，过时的物品价值先下降，直到收藏后价值才会升值，因此显然为③；对于C，由于洗澡一般是间歇性用水，所以易知水高度函数图象有多重折线，因此显然为④，对于D，乘客人数越多，利润越大，显然是②.答案 ①③④②7．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下(单位：万美元)：年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多生产的件数甲产品30a10200乙产品50818120其中年固定成本与生产的件数无关，a为常数，且4≤a≤8.另外年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润；(3)如何决定投资可获得最大年利润．解 (1)由题意，y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200，x∈N；y2＝(18－8)x－50－0.05x2＝10x－50－0.05x2,0≤x≤120，x∈N.(2)∵4≤a≤8，∴10－a＞0，故y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200是增函数．所以x＝200时，y1有最大值1970－200a.y2＝10x－50－0.05x2＝－0.05(x－100)2＋450.x∈[0,120]，且∈N，∴当x＝100时，y2取最大值450.∴投资生产这两种产品的最大利润分别为(1970－200a)万美元和450万美元．(3)令1970－200a＝450，解得a＝7.6，因为函数f(a)＝1970－200a是定义域上的减函数，所以当4≤a≤7.6时，投资甲产品；当7.6＜a≤8时，投资乙产品；当a＝7.6时，投资甲产品、乙产品均可．能力提升 8．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有(  )．A．a＝45，b＝－30B．a＝30，b＝－45C．a＝－30，b＝45D．a＝－45，b＝－30解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y＝xQ－p＝x－＝x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.∴解得答案 A9．(2013·衢州高一检测)如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．解析 由图象知，t＝2时，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正确．当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确，当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23.t2－t1＝log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误． 答案 ①②10．某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)．点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)、(20,6)，容易求得直线方程为：P＝t＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)、(30,5)，求得方程为：P＝－t＋8，故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：P＝(2)由图表，易知Q与t满足一次函数关系，即Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N.(3)由以上两问，可知y＝＝当0≤t≤20，t＝15时，ymax＝125，当20＜t≤30，y随t的增大而减小，∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．