3.2.2 函数模型的应用实例1．会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)2．能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 函数模型的应用阅读教材P101～P106，完成下列问题．1．常见的函数模型函数模型函数解析式(1)正比例函数模型f(x)＝kx(k为常数，k≠0)(2)反比例函数模型f(x)＝(k为常数，k≠0)(3)一次函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(4)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(5)指数函数模型f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)(6)对数函数模型f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)(7)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)
(8)分段函数模型f(x)＝2.建立函数模型解决问题的框图表示图3261．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A．300只 B．400只C．600只D．700只【解析】 将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.【答案】 A2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)【解析】 由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．【答案】 D[小组合作型]一次函数、二次函数模型的应用 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【精彩点拨】 (1)先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；(2)由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．【自主解答】 (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100,300])，
∵k＜0，∴x＝200时，ymax＝－10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，即x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150.所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.[再练一题]1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，求供水开始几小时后，蓄水池中的存水量最少.【导学号：97030141】【解】 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)，设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150，∴当u＝，即t＝时，蓄水池中的存水量最少．指数函数、对数函数模型的应用 声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？【精彩点拨】 由公式Y＝10lg可以由I求Y，也可以由Y求I，计算I＝5×10－7W/m2时的声强级并与50作比较就可以判断两位同学是否会影响其他同学休息．【自主解答】 (1)当I＝10－6W/m2时，代入得Y＝10lg＝10lg106＝60，即声强级为60分贝．(2)当Y＝0时，即为10lg＝0，所以＝1，I＝10－12W/m2，则能听到的最低声强为10－12W/m2.(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg＝10lg(5×105)＝50＋10lg5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x，(其中N为基数，p为增长率，x为时间)的形式．[再练一题]2．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．【解】 (1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；……故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012≈16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万．分段函数模型的应用 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．【精彩点拨】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)由(1)分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．【自主解答】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：y＝＝＝(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5)递增，在t∈(5,10]递减，∴ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)．②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]递减，t＝10时，y＝1200，ymin＝600(当t＝20时取得)，由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．[再练一题]3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元.【导学号：97030142】(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】 (1)当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；即y＝(2)设旅行社所获利润为S元，则当0＜x≤30时，S＝900x－15000；当30＜x≤75，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即S＝因为当0＜x≤30时，S＝900x－15000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12000；当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60时，Smax＝21000＞12000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．[探究共研型]拟合数据构建函数模型探究1 画函数图象的一般步骤有哪些？【提示】 列表、描点、连线．探究2 学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？【提示】 第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x1)，(2，x2)，…，(7，x7)．第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示．第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点．第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整． 某企业常年生产一种出口产品，自2013年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2013年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234
f(x)4.005.587.008.44(1)画出2013～2016年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2017年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2017年的年产量为多少？【精彩点拨】 →【自主解答】 (1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得∴f(x)＝1.5x＋2.5.检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08＝＝28.7，解得x>2036.7，又x∈N，故x＝2037.【答案】 20375．已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．【解】 (1)①汽车由A地到B地行驶th所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)．综上，s＝它的图象如图(1)所示．(1) (2)(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝它的图象如图(2)所示．
大班毕业典礼主持词筱：尊敬的各位领导、家长、亲爱的小朋友们：合：大家下午好！筱：今天我们在这里隆重召开大班毕业典礼，为可爱的孩子们三年的幼儿园生活画一个圆满的句号。娜：离别的钟声即将响起，作为老师我们内心有太多说不出的高兴与不舍。为了孩子们即将成为一名小学生而高兴，为了孩子们即将离开我们而依依不舍。婷：三年的集体生活，不仅使孩子们在各方面得到发展，更使孩子们与老师建立了纯真的感情。我们一起学习，一起游戏。合：作为老师，我们有这么多的小精灵陪伴，我们拥有，我们幸福！筱：三年来你们带给我多少的欢声笑语，娜：三年来你们给了我多少的感动和欣慰，婷：此刻你们将要离开这里，我只有默默的祝福你们——我的宝贝：合：愿你们是小鸟从这里起飞，愿你们是小船从这里扬帆，愿你们是骏马在这里奋蹄......娜：文苑幼儿园大班毕业典礼合：现在开始！婷：下面请欣赏家长代表带来的腰鼓《***》大家掌声欢迎。筱：感谢家长代表精彩的表演。下面请我们敬爱的×校长，致毕业典礼的贺词，大家掌声欢迎！1、校长讲话娜：感谢×校长热情洋溢的讲话。下面请我们的家长朋友，×××的妈妈代表家长们上台讲话，大家掌声欢迎。2、家长代表讲话婷：感谢×××妈妈感人的讲话！经典诵读，是我园的一大教育特色之一。下面请欣赏大班级部带来的《毕业诗》和古诗词朗诵：筱：我们的孩子朗诵的好不好？再一次把热烈的掌声送给我们这群聪明、可爱的宝贝们。下面请欣赏大班级部带来的舞蹈《我有一双小小手》，大家掌声欢迎。娜：到了说再见的时刻，这是依依不舍的时刻，也是开心高兴的时刻。婷：亲爱的孩子们，老师将记住你们的天真、善良和爱心。筱：今后，你们无论遇到了什么困难，也请记住老师对你们的爱，在老师心中，你们都是独一无二的！你们都是最棒的！娜：亲爱的孩子们，老师爱你们，永远爱你们。筱：老师为你们祝福，祝愿你们象一只只快乐的小鸟，在广阔的天空自由自在的飞翔；婷：祝愿你们好好学习，实现自己心中的梦想：成为快乐能干的机器猫、机灵勇敢的喜洋洋、聪明美丽的白雪公主！合：再见了，我亲爱的宝贝！幼儿园是你们永远的家，老师是你们永远的守巢人！请欣赏《毕业歌》筱：下面请领导上台给我的小朋友
们颁发毕业证书，大家掌声欢迎。幼儿园的世界是你们实现蔚蓝色梦想的摇篮，我愿是轻抚摇篮的双手，我愿是流淌在你们心间的甜美童谣，陪伴你们在这梦开始的地方快乐成长！喜欢你们甜甜的，稚嫩的叫我老师，喜欢你们每天沐浴阳光，笑如花，感谢你们传递给我的幸福感！祝福你们，亲爱的孩子们，愿您们健康茁壮的成长！
身高：90cm体重：16公斤希望你成为一个聪明活泼、充满爱心，独立自强的人。学习不是为了父母，也不是为了老师，而是为了你自己。要学会勇敢、自信，跌倒并不可怕，可怕的是跌倒不爬起来。最后，愿你自强不息！永往直前！——恩茜的爸爸、妈妈
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