3．2.2 函数模型的应用实例[导入新知]1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．2．建立函数模型解决问题的框图表示[化解疑难]求解函数应用题的程序14
二次函数模型 [例1] 已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减少x(其中x>0)成．(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？(2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．[解] 设商品原价格为m，每天的原销售量为n，则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为y＝m···n.(1)y＝m···n＝·m·n.当x＝，即涨价125%时，每天的营业额最大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，则需m···n＞m·n，即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)0，故0＜x＜.∴x的取值范围为.[类题通法]利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．[活学活用][活学活用]如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE14
内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解：(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．又△EPQ∽△EDF，所以＝，即＝.所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米.分段函数模型[例2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20＜x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝14
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．[类题通法]构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．[活学活用]某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意得y＝(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3(t3>10)小时，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.指数、对数型函数模型[例3] 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.14
(1)求p%的值．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.(2)设经过m年森林面积为a，则a(1－p%)m＝a，即＝，＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n.令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，≥，得≤，解得n≤15，故今后最多还能砍伐15年．[类题通法]指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．[活学活用]某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解：依题意，得·n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，14
故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求． [典例] (12分)甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规律(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只；乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减到第六年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数．(2)到第六年，这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由．(3)哪一年的规模最大？说明理由．[解题流程]14
[活学活用]某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：销售单价x/元30404550日销售量y/件6030150(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．解：实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数．(1)设f(x)＝kx＋b，则14
解得∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立．(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500,30≤x≤50，∴对称轴x＝－＝40∈[30,50]．答：当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．[随堂即时演练]1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100x解析：选C 当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故选C.2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是( )A．x＝60tB．x＝150－50tC．x＝D．x＝解析：选D 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降为________元．解析：y＝a·，所以当x＝15时，y＝8100×3＝8100×＝2400(元)．答案：240014
4.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为________．解析：(1)由题图可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．(2)由题图可知，当t＝5时，y＝6，即需付电话费6元．(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，则解得故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．答案：(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)5．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．(1)当商品的价格为每百件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解：设该店月利润余额为L元，则由题设得L＝Q(P－14)×100－3600－2000，①由销量图易得Q＝代入①式得L＝(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；当205时，f(x)＝5×5－×52－(0.25x＋0.5)＝12－x；所以f(x)＝(2)当05时，f(x)＝12－x
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