函数模型的应用实例(第二课时)

　　3.2.2函数模型的应用实例（第二课时）教学目标知识目标：能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.能力目标：能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.情感目标：体会用数学的方法来解决实际问题，明确数学的应用性，增强学好数学的信心．教学重点难点重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.课堂教与学互动设计[创设情景，引入新课]现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.[师生互动，探究新知]例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1、写出速度关于时间的函数解析式；2、求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；3、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.分析：理解条形图的意义，并根据图形写出相应的函数关系式．一方面巩固上节课所学知识，另一方面培养学生对信息、图象的处理能力．根据图象，写出分段函数，并画出相应图象．7 解：（１）（２）阴影部分面积为．　　　阴影部分面积表示汽车在５小时内行驶的路程为３６０ｋｍ．（３）根据图３．２－７，有图象如下：点评：本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例是分段函数模型刻画实际问题.分段函数是刻画现实问题的重要模型．关键是分段函数的书写与画图．例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.7 下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672071）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索以下问题：1、本例中所涉及的数量有哪些？2、描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3、根据表中数据如何确定函数模型？4、对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？5、如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？分析：根据已知的数据，确定函数模型，再应用此模型来解决实际问题．解：（１）设1951～1959年的人口增长率分别为，由可得1951年人口增长率．同理可得：，，，，，，．于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为．令，则我国在195０～1959年期间的人口增长率模型为，．根据表中的数据作出散点图，并作出函数，的图象．本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，由于数据计算比较繁，要用到计算器或计算机，提高学生这方面的能力。7 由图可看出，所得模型与195０～1959年的实际人口数据基本吻合．（２）将ｙ＝130000代入，。由计算器可得．所以，如果按上表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿．点评：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个具体过程．应注意的是，用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正．[随堂练习]某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：1．本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？2．如何对所确定的函数模型进行评价？解：设二次函数为，，则，得到：，所以，，接近于1.37,故选作为模拟函数较好．[课时小结]利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1．根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2．利用待定系数法，确定具体函数模型；3．对所确定的函数模型进行适当的评价；4．根据实际问题对模型进行适当的修正.利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.本题是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型.7 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模型评价的依据.课外同步训练[轻松过关]１．按复利计算,若存入银行5万元,年利率2%,3年后支取,则可得利息(单位:万元)(Ｃ)A.5(1+0.02)B.5(1+0.02)C.5(1+0.02)-5C.5(1+0.02)-5２．计算机成本不断降低,若每隔4年计算机价格就降低,现价为6000元的计算机,则6年后的价格为(Ａ)A.2100元B.2250元C.2500元D.2000元３．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·（0．5）x+b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为___1．75万件____________．４．某工厂1992年底某种产品年产量为a，若该产品的年平均增长率为x，2000年底该厂这种产品的年产量为y，那么y与x的函数关系式是__y=a（1+x）8_____．５．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(Ｄ)A.na(1-b%)B.a(1-nb%)C.aD.a(1-b%)n６．在本市投寄平信,每封信不超过20克付邮资0．8元,超过20克但不超过40克付1．6元,依此类推,每增加20克增加0．8元(信的质量在100克以内),某人所寄一封信72．5克,则应付邮资Ｄ元．A．2．4B．2．8C．3D．3．2[适度拓展]７．算机成本不断降低，如每隔3年价格降低，现在价格是元的计算机9年后的价格为（Ａ）A．2400元B．900元C．300元D．3600元８．7 A、B两地相距150公里，某人以60公里时速开车从A往B，在B停留1小时后再以50公里时速返回A，则汽车离开A地的距离与时间的函数关系式为（　Ｂ　）A.B．C．D．９．某产品生产件数与成本（万元）之间有函数关系为，若每件产品成本平均不超过25万元，且每件产品用料6吨，现有库存原料30吨，旺季可进料900吨，则旺季的最高产量为155件.7 [综合提高]１０．光线每通过一块玻璃，强度损失10%，要使光线强度减弱到原来的三分之一以下，至少需要重叠这样的玻璃（取lg3=0．4771）（Ｄ）A．8块B．9块C．10块D．11块7