3.2.2函数的运用

3.2.2函数应用(2) 一、命题思路二、读懂函数图象，解决实际问题关键：数形结合思想三、跨学科小综合，注意运用其它学科定理、公式四、学科内综合，注意知识点之间的联系 一、命题思路实际生活中到处都存在着函数关系，实际生活中很多问题都可以用函数的有关知识来解决，未来的人才应有强烈的应用意识，善于把自己掌握的知识运用于随时产生的各种问题的解决．是否能把函数知识运用于实际生活是中考重点考查的内容． 二、读懂函数图象，解决实际问题关键：数形结合思想方法点拨：1、利用函数的直观性，通过数形结合，用分析的方法研究函数的性质。2、通过解函数的综合题，培养分析问题、解决问题的能力。 1、（西安市）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时每小时剩下的h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示应为（）（A）（B）（C）（D） 分析：把蜡烛燃烧的过程看做蜡烛的高度是燃烧时间的函数，再观察哪一幅图象反映了蜡烛高度变化的实际状况．解：函数的定义域应0≤t≤4，应排除（D）；又蜡烛的高度随燃烧时间的增加而降低的，所以曲线应向右向下延伸，只有（B）符合要求，所以应选（B）．剖析：要善于把生活中存在的函数关系与刻画它们的变化过程的图象结合起来，即应会正确做出刻画它们的变化过程的图象，也要正确读出这种图形的意义． 2、（05山东潍坊实验区）某工厂生产的某种产品按质量分为个10档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元．（1）每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件．若生产第x档的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10）,求出y关于x的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品？ 解：（1）每件利润是16元时，此产品的质量档次是在第四档次．（2）设生产产品的质量档次是在第x档次时，一天的利润是y（元），根据题意得：y102(x1)764(x1)2整理得：y8x128x640当利润是1080时，即28x128x6401080解得：x5,x11（不符合题意，舍去）12答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的利润为1080元．小结：函数关系式的建立离不开数学模型。此类问题的最后解决是利用二次函数的知识。 3、（武汉市）为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射．正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2＋bx＋c（如图），则下列结论：11①a＜－60；②－60＜a＜0；③a－b＋c＞0；④0＜b＜－12a其中正确的结论是（B）（A）①②（B）①④（C）②③（D）②④ 4、（河北省）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）． 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空2中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离3为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为：y＝ax2＋bx＋c由题意知，O、B两点坐标依次为（0，0），2（2，－10），且顶点A的纵坐标为，所以325c0aa36224acb210解得b，或b24a33c04a2bc10c0 ∵抛物线对称轴在y轴右侧，b∴－2a＞0，又∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＞0，∴a＝－25，b＝10，c＝0632510∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x.63 3(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3米时，538即x＝3－2＝时，55225810816y＝＝－．653531614∴此时运动员距水面的高为：10－＝＜5．33因此，此次试跳会出现失误． 5、（05湖北宜昌实验）如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900米，这里水面的海拔高度是74米.若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长.(结果精确到0.1米) (方法一)如图，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面（上竖直钢拉索与桥面连接点）所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.则A（0，0.5），B(－450,94.5)，C(450，94.5).由题意，设抛物线为：y＝ax2＋0.5.将C(450，94.5)代入求得:4794aa101250或2.450∴当x=350时,y=57.4.∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米． (方法二)如图，以抛物线形主悬钢索最低点为原点，以平行于桥面的(竖直钢拉索与桥面连接点所在的)直线为x轴建立平面直角坐标系.则B(-450,94),C(450,94).设抛物线为：y＝ax2.将C(450,94)代入求得:47a或94.∴472.101250a2yx450101250当x=350时,y=56.9.∴56.9+0.5=57.4.∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米. 6、（安徽省）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x2＋2.6x＋43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？ 解：（1）y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1（x－13）2＋59.9所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增加;当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降．（2）当x＝10时，y＝－0.1（10－13）2＋59.9＝59第10分时，学生的接受能力为59．（3）x＝13时，y取得最大值.所以，在第13分时，学生的接受能力最强． 7、（杭州市）如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA＝1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达到多少米（精确到0.1米）？（提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）． 分析：把最高点归结为点（1，2.25）．解：（1）建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水的路线与x轴交点为C，根据题意，A、B、C的坐标为A（0，1.25）、B（1，2.25）、C（x，0）．抛物线可设为y＝a（x－1）2＋2.25．把点A的坐标（0，1.25）代入，得a＝1.25－2.25＝－1．所以有y＝－（x－1）2＋2.25，令y＝0，由－（x－1）2＋2.25＝0求得x＝－0.5（舍去），x＝2.5所以，水池的半径至少要2.5米． （2）由于抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y＝－（x＋m）2＋k，将点A（1，1.25）及点C（3.5，0）代入，解方程组21.250mk203.5mk11141解得m＝－，k＝3≈3.7．7196所以此时水流最大高度达3.7米． 剖析：要善于把复杂纷繁的实际问题，抽象出一个数学问题，检索出可用的数学知识，并能运用这些数学知识和技能解决问题，是学习数学的最终目标，所以，对这种能力的考查越来越受到命题者的青睐． 二、跨学科小综合，注意运用其它学科定理、公式 1、（沈阳市）两个物体A、B所受压强分别为PA（帕）与P（帕）（P、P为常数），它们所受压BAB力F（牛）与受力面积S（米2）的函数关系图象分别是射线l、l．如图所示，则（A）AB（A）P＜PAB（B）P＝PAB（C）P＞PAB（D）P≤PAB 2、（甘肃省）受力面积为S（米2）（S为常数，S≠0）的物体，所受的压强P（帕）压力F（牛）的函数关系为P＝F，则这个函数的图象是（A）S（A）（B）（C）（D） 3、（安徽省）一段导线，在0℃时的电阻为2欧，温度每增加1℃，电阻增加0.008欧，那么电阻R欧表示为温度t℃的函数关系式为（B）（A）R＝0.008t（B）R＝2＋0.008t（C）R＝2.008t（D）R＝2t＋0.008 4、（北京市西城区）如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安，那么通过这一电阻电流I随它两端U变化的图象是（D）（A）（B）（C）（D） 5、（苏州市）如图，l、l分别是甲、乙两弹簧甲乙的长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体的伸长的长度为kcm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为kcm，甲乙则k与k的大小关系（）A甲乙（A）k＞k甲乙（B）k＝k甲乙（C）k＜k甲乙（D）不能确定 6、（吉林省）一定质量的二氧化碳，当它的体积V＝5m3时，它的密度ρ＝1.98kg／m3．（1）求出ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝9m3时二氧化碳密度ρ．解：（1）设二氧化碳质量为mkg将V＝5m3，ρ＝1.98代入ρ＝m/v，得m＝9.9（kg）所求函数关系式为ρ＝9.9/v．（2）V＝9代入ρ＝9.9/v得，ρ＝1.1（kg／m3）