第2课时指数型、对数型函数模型的应用举例
指数函数模型、对数函数模型思考：解决实际应用问题的关键是什么?提示:解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数模型.函数模型名称表达形式限制条件指数函数模型__________a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1对数函数模型_____________m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1f(x)=abx+cf(x)=mlogax+n
【知识点拨】1.建立函数模型应把握的三个关口(1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口.(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.(3)数理关:在构建数学模型的过程中,利用已有的数学知识进行检验,从而认定或构建相应的数学问题.
2.解决拟合函数模型的应用题的四个环节(1)作图：根据已知数据，画出散点图.(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似的图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试.(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式.(4)检验：将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最适合的函数模型.
类型一指数函数模型【典型例题】1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2xD.y=2x
2.某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：(1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系.(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).
【解题探究】1.对于细胞分裂问题，一个细胞经过x次分裂后得到的细胞个数一般怎样表示？若是n个细胞呢？2.解决连续增长问题应建立何种数学模型？探究提示：1.由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，分裂x次后得到的细胞个数为2x个，若是n个细胞，则细胞个数为n·2x个.2.对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数模型y=a(1+p)x.
【解析】1.选A.2个细胞分裂一次成4个，分裂两次成8个，分裂3次成16个，所以分裂x次后得到的细胞个数为y=2x+1.
2.(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)，2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2，3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3，……x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N).
(2)10年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万人).(3)设x年后人口将达到120万人，即可得到100×(1+1.2%)x=120，所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.
【拓展提升】解应用问题的四步骤读题⇒建模⇒求解⇒反馈(1)读题：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等，弄清已知什么,求解什么,需要什么.(2)建模：正确选择自变量，将问题表示为这个变量的函数，通过设元,将实际问题转化为数学关系式或建立数学模型，不要忘记考察函数的定义域.
(3)求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出.(4)反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况,并正确作答.
【变式训练】某钢铁厂的年产量由2004年的40万吨，增加到2014年的60万吨，如果按此增长率计算，预计该钢铁厂2024年的年产量为______.【解析】设年增长率为r，则有40(1+r)10=60，所以(1+r)10=所以2024年的年产量为60(1+r)10=60×=90(万吨).答案：90万吨
类型二对数函数模型【典型例题】1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600只D.700只
2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为______.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是______.
【解题探究】1.对于题1中的参数a应利用哪些数值来确定？2.借助已知对数值求解实际问题的关键是什么？探究提示：1.可由该动物在引入一年后的数量为100只，即x=1，此时y=100，代入y=alog2(x+1)中，可解得a.2.借助已知对数值求解实际问题的关键是充分借助对数的运算性质，把求解数值用已知对数值表示.
【解析】1.选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1)，解得a=100，所以x=7时，y=100log2(7+1)=300.2.由题意，燕子静止时v=0，即5log2=0，解得q=10；当q=80时，v=5log2=15(m/s).答案：1015m/s
【互动探究】题1中，若引入的此种特殊动物繁殖到500只以上时，也将对生态环境造成危害，那么多少年时，必须采取措施进行预防？【解析】500=100log2(x+1)，解得x=31.所以31年时，必须采取措施进行预防.
【拓展提升】对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.
【变式训练】2012年6月16日，“神舟九号”载人飞船经“长征二号F”运载火箭发射升空.火箭起飞质量是箭体的质量m和燃料质量x的和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系为y=k［ln(m+x)-ln(m)］+4ln2(其中k≠0)，当燃料质量为(-1)m吨时，该火箭的最大速度为4km/s，则y关于x的函数解析式为______.
【解题指南】先由燃料质量为(-1)m时，则该火箭的最大速度为4km/s，代入y=k［ln(m+x)-ln(m)］+4ln2中，确定出k的值.【解析】由题意，x=(-1)m时,y=4km/s，即4=k{ln［m+(-1)m］-ln(m)}+4ln2,所以k=8,故y=8［ln(m+x)-ln(m)］+4ln2.答案：y=8［ln(m+x)-ln(m)］+4ln2
类型三拟合模型【典型例题】1.(2013·厦门高一检测)今有一组数据如下：在以下四个模拟函数中，最适合这组数据的函数是()A.v=log2tB.v=C.v=D.v=2t-2t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01
2.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)=x2，f2(x)=4x，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A.f1(x)=x2B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x
【解题探究】1.对于表格给出的数据，如何选择合适的模拟函数？2.指数函数的增长具有什么特点？探究提示：1.可用直接法，将表中的数据直接代入所给出的模拟函数中，验证哪个最适合即可.2.指数函数的变化呈爆炸方式增长，随着变量的增大，与其他函数类型相比，其函数值将增长得最快.
【解析】1.选C.可将自变量的值取整数，代入备选答案，易知C成立．2.选D.因为指数函数的变化呈爆炸方式增长，所以一直跑下去，最终在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x，应选D.
【拓展提升】数据拟合问题的三种求解策略(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解.(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较.
(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.
【变式训练】某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y=2tB.y=t3C.y=log2tD.y=2t2【解析】选C.由曲线的缓慢增长趋势知，应为对数函数型，故选C.
图表型应用问题【典型例题】1.某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时体温基本正常(大约37℃),但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉不发烧了，下面能反映小鹏这一天体温变化情况的图象大致是()
2.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P)，点(t,P)落在如图中的两条线段上.
该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系.(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)所满足的一次函数关系.第t天4101622Q(万股)36302418
【解析】1.选C.观察图象A，体温逐渐降低，不符合题意；图象B不能反映他下午体温又开始上升；图象D不能反映他下午体温又开始上升与直到半夜才感觉不发烧了.
2.(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过点(0,2),(20,6)，容易求得其方程为P=t+2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过点(20,6),(30,5)，求得方程为P=+8，所以每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系为
(2)设日交易量Q(万股)与时间t(天)所满足的一次函数关系为Q=kt+b，过点(4,36),(10,30)，解得k=-1,b=40，所以Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.
【拓展提升】图表型应用问题的解决思路(1)结合图象特征，观察坐标轴所代表的含义.(2)紧扣题目的语言叙述，将其转化为数学特征(单调性，最值，奇偶性).
【规范解答】指数函数模型在实际中的应用【典例】【条件分析】
(1)根据图象求k,b的值.(2)若市场需求量为Q，它近似满足当P=Q时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值.
【规范解答】(1)由图可知①时，有解得…………………………4分
(2)当P=Q时，得………………6分解得…………8分令∵x≥9,∴m∈(0,］③,在t=(17m2-m-2)中，对称轴为直线且图象开口向下.……10分∴m=时，t取得最小值此时，x=9.………………12分
【失分警示】
【防范措施】1.转化思想的应用意识在解决函数问题时经常应用转化思想，如本例中通过换元法转化成一元二次函数求最值.2.二次函数求最值准确应用变量的范围在求解二次函数最值问题时一定要注意自变量的范围以及和对称轴的关系.例如本例中利用换元法得到二次函数后注意应用准确.
【类题试解】某地区为响应上级号召，在2013年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y=f(x)的解析式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y=f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米.
【解析】(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2；……经过x年后，廉价住房面积为200(1+5%)x，∴y=200(1+5%)x(x∈N*)．
(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0)的图象，如图所示：作直线y＝300，与函数y=200(1+5%)x(x≥0)的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．因为8＜x0＜9，则取x0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．
1.某种商品2012年提价25%，2013年欲恢复成原价，则应降价()A.30%B.25%C.20%D.15%【解析】选C.设2012年提价前的价格为a,2013年要恢复成原价应降价x.于是有a(1+25%)(1-x)=a，解得x＝即应降价20%.
2.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为()A.17B.18C.19D.20【解析】选C.设2013年该市工农业总产值为a，达到翻两番目标最少需n年，则翻两番后变为4a，由a(1+8%)n≥4a，得(1+8%)n≥4(n∈N*),∴n≥log1.084≈18.01,又∵n∈N*,∴n=19.
3.现测得(x,y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y=x2+1；乙：y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用______作为拟合模型较好．【解析】将已知的三个点的坐标分别代入两个解析式得，前两个点均适合，但第三个点更适合甲，比较发现选甲更好．答案：甲
4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T-Ta=(T0-Ta)·其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多长时间？
【解析】由题意知40-24=(88-24)·即解之，得h＝10.故T-24=(88-24)·当T=35时，代入上式，得35-24=(88-24)·即两边取对数，用计算器求得t≈25.因此，约需要25min，可降温到35℃.
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