2022年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例 学案 新人教A版必修1

3.2.2 函数模型的应用实例【课标要求】1．了解几种现实生活中普遍使用的函数模型．2．能够利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题．【核心扫描】1．利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2．建立函数模型解决实际问题．(难点)3．选择恰当的函数模型解决实际问题．(易错点)新知导学1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．互动探究探究点1解决函数实际应用问题的关键是什么？提示 关键是选择或建立恰当的函数模型．探究点2数据拟合时，得到的函数为什么要检验？提示 因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模型，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要改选其他函数模型.类型一 二次函数模型的应用【例1】某公司以每吨10万元的价格销售某种化工品，每年可售出1000吨．若该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售量将减少mx%(m＞0)．(1)当m＝时，求销售额的最大值； (2)如果涨价能使销售额增加，求m的取值范围．[思路探索] 先建立销售额与x的函数关系即函数模型，再利用函数模型解决实际问题．解 当价格上涨x%，即价格为10万元时，销售量为1000吨，销售总额为y＝(1000－10mx)＝－mx2＋100(1－m)x＋10000.(1)当m＝时，y＝－x2＋50x＋10000＝－(x－50)2＋11250(0＜x＜200)．所以x＝50时销售额最大，最大值为11250万元．(2)涨价能使销售额增加，也就是x＞0时，y＞10×1000，即－mx2＋100(1－m)x＞0，∴－mx＋100(1－m)＞0.又m＞0，∴＞x＞0，解得0＜m＜1.所以m的取值范围是(0,1)．[规律方法] (1)第一小题关键在于建立y关于x的二次函数；(2)第二小题要理解“涨价且使销售额增加”的意义，从而得到关于m的不等式．(3)二次函数模型是幂函数中的最重要的函数模型，根据实际问题建立函数关系式后，可以利用配方法、换元法、单调性等方法求其最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．【活学活用1】某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为：R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为产量的函数；(2)年产量为多少时，企业所获得的利润最大？解 (1)由题意，得总成本为0.5＋0.25x，从而利润为f(x)＝5x－x2－(0.5＋0.25x)＝－x2＋4.75x－0.5＝－x2＋x－(0≤x≤5)．(2)f(x)＝－(x－)2＋，当x＝时，f(x)有最大值. ∴年产量为475台时，利润最大为万元．类型二 分段函数模型的应用【例2】通过研究学生的学习行为，专家发现，学生注意力随着老师讲课时间的变化而变化．设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律，其中f(t)越大，表明学生注意力越集中．经过实验分析得知f(t)＝(1)讲课开始后5分钟与25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？[思路探索] 由于f(t)是关于t的分段函数，计算时应分清f(t)满足的关系式，分段求解，并加以比较，得出结论．解 (1)f(5)＝－52＋24×5＋100＝195.f(25)＝－7×25＋380＝205.∴讲课开始后25分钟学生的注意力更集中．(2)当0＜t≤10时，f(t)＝－(t－12)2＋244，此时，当t＝10时，f(t)max＝240；当10＜t＜20时，f(t)＝240；当20≤t≤45时，f(t)max＝f(20)＝240.∴讲课开始后10分钟到20分钟，学生注意力最集中，能持续10分钟．[规律方法] (1)对于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点，以保证在各区间端点“不重不漏”．(2)求解分段函数问题，必须分段处理，注意在有限制条件的前提下，如何进行分类讨论解决问题．【活学活用2】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月用水量和水费．解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x＞4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当甲乙的用水量都超过4吨，即3x＞4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.所以y＝(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈时，y≤f＜26.4；当x∈时，y≤f＜26.4；当x∈时， 令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．类型三 数据拟合型函数的应用问题【例3】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.300.590.881.201.511.79该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．[思路探索] 先作出散点图，根据散点图设出拟合函数，然后检验判定，选择恰当拟合函数解决问题．解 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示．取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．设y＝kx＋b(k≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，得解得所以y＝0.3x.设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)，所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.当x＝3时，W取最大值，约为4.55万元，此时B商品的投资为9万元．故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元． [规律方法] 解此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答．这个过程就是先拟合函数，再利用函数解题．【活学活用3】某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝a·logbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．解 (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，得解之得a＝，b＝－，c＝.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.(2)当t＝－＝150时，西红柿种植成本最低，最低为Q＝·1502－·150＋＝100(元/102kg)．易错辨析 解决图表信息问题没能理解题意致错【示例】如图所示，圆弧型声波DFE从坐标原点O点外传播．若D是DFE与x轴的交点，设OD＝x(0≤x≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图象大致是(  )． [错解] 观察题图可知，声波扫过的面积先增大后减少，选项B符合题意，满足图象要求．[错因分析]  本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错．[正解] 从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达C点之后且离开A点之前，因为OA∥BC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长．当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢．所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的．故选A.答案 A[防范措施] (1)注意细节变化，一些细节不能忽视，它往往起提示作用，如图表下的“注”、“数字单位”等．函数图象的凸凹变化规律：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢．(2)审清要求：图表题往往对答题有明确的要求，根据考题要求进行回答，才能有的放矢．题目要求往往包括字数句数限制、比较对象、变化情况等.课堂达标1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(  )．A．310元B．300元C．390元D．280元解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.答案 B2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(  )． A．y＝0.2xB．y＝(x2＋2x)C．y＝D．y＝0.2＋log16x解析 当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，检验C项较为近似．答案 C3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为________人．解析 若4x＝60，则x＝15＞10舍，若2x＋10＝60，则x＝25满足题意．若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．因此，公司拟录用25人．答案 254．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．解析 图象法，即指出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象，比较发现选甲更好．答案 甲5．(2013·长沙高一检测)2012年我国人均国民生产总值约为a美元，若按年平均增长率8%的速度增长．(1)计算2014年我国人均国民生产总值；(2)经过多少年可达到翻一番？(lg1.08≈0.0334，lg2≈0.3010)解 (1)设经过x年后，人均国民生产总值为y美元，由题意y＝a×(1＋0.08)x.所以，2014年我国的人均国民生产总值为y＝a×(1＋0.08)2＝1.1664a(美元)．(2)由题意：1.08x≥2x≥≈9.012.故经过10年可达到翻一番．课堂小结1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.