函数模型的应用实例【知识梳理】1.常见的函数模型(1)正比例函数模型:f(x)=kx(k为常数,k≠0);(2)反比例函数模型:f(x)=(k为常数,k≠0);(3)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(4)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(5)指数函数模型:f(x)=axx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);(6)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);(7)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1).2.建立函数模型解决问题的框图表示【常考题型】题型一、二次函数模型【例1】 据市场分析,烟台某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系.已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?[解] (1)y=a(x-15)2+17.5,将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5.
解得a=.所以y=(x-15)2+17.5(10≤x≤25).(2)设最大利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y=1.6x-=-(x-23)2+12.9(10≤x≤25).因为x=23∈[10,25],所以月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.【类题通法】利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.【对点训练】渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;(2)求鱼群年增长量的最大值.解:(1)根据题意知,空闲率是,故y关于x的函数关系式是y=kx·,0