函数模型与应用

15函数模型及其应用知识梳理1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随着x的增大，图象与y轴接近平行随着x的增大，图象与x轴接近平行随n值变化而各有不同要点整合：理解解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：题型一．函数模型的选择 例1.某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为(  ) A．y＝ax＋b  B．y＝a＋logbxC．y＝a·bxD．y＝ax2＋b解析： 根据散点图可知，较适宜的函数模型为y＝a＋logbx，故选B.[答案] B选择函数模型的基本思想(1)根据数据描绘出散点图；(2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象；(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型．但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．变式1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合(  )A．y＝ax＋bB．y＝a＋bC．y＝a·bxD．y＝ax2＋bx＋c解析：选B.根据散点图知，选择y＝a＋b最适合，故选B.变式2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________； (2)最低种植成本是__________元/100kg.解析：∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得解得∴Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.答案：(1)120 (2)80题型二．函数模型的应用例2.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解] (1)在y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)中，令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.由实际意义和题设条件知x>0，k>0.解以上关于x的方程得x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程是10千米．(2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标⇔存在k>0，使ka－(1＋k2)a2＝3.2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，得解得a≤6.所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中它．已知函数模型求解实际问题的三个步骤(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名称，并注意相关量之间的关系． (2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋势和最优问题．(3)最后回归问题的结论．变式1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是(  )A．20小时B．22小时C．24小时D．26小时解析：选C.由已知条件，得192＝eb，所以b＝ln192.又因为48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，所以e11k＝＝＝.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.故选C.变式2．某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额x(单位：万元)满足：f(x)＝alnx－bx＋3(a，b∈R，a，b为常数)，且曲线y＝f(x)与直线y＝kx在点(1，3)处相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点(4，4)．(1)分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式；(2)已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均不少于10万元．问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？(参考数据：ln10＝2.303，ln15＝2.708，ln20＝2.996，ln25＝3.219，ln30＝3.401)解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－b，因为点(1，3)在直线y＝kx上，故有k＝3，又曲线y＝f(x)与直线y＝3x在点(1，3)处相切，故有得则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为f(x)＝3lnx＋3(x>0)．由题意设乙产品的利润与投资金额间的关系式为：g(x)＝m，将点(4，4)代入上式，可得m＝2，所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为g(x)＝2(x>0)．(2)设甲产品投资x万元，则乙产品投资(40－x)万元，且x∈[10，30]，则公司所得利润为y＝3lnx＋3＋2，故有y′＝－， 令y′>0，解得10≤x