函数模型的应用举例一

函数模型的应用实例 例1：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图：x13452y1020304070605080905080657590(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义。 (2)假设这辆汽车的里程表在行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图像。x13452y102030407060508090tt x13452y20002100220023002400......分段函数是刻画现实世界的重要模型 20002100220023002400012345ts(2)解: 解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义． 例2：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。 下面是1950~1959年我国的人口数据资料：55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；1950195119521953195419551956195719581959(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率为r=(r1+r2+···+r9)÷9≈0.0221解:(1)设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,···,r9,由55196(1+r1)=56300可得1951年的人口增长率r1≈0.0200同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t(t∈N) 5000055000600006500070000012345ty6789由上图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人中数据基本吻合.根据上表的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象（下图） （2）将y=1300000代入y=55196e0.0221t，由计算机可得：t≈38.76这就是说按照这个增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年），我国的人口就已经达到13亿。如果不实行计划生育，而让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力！ 解模验模用模用已知的函数模型解题的一般过程 例5某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240 分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为（桶）而有最大值只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。 解模验模用模选模