高中数学《函数模型应用实例》公开课优秀教学设计

《3.2.2函数模型应用实例》教学设计高中数学人教版必修1第三章第二节【教学内容分析】“加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是高中数学课程标准数学教育教学的基本理念之一.为了践行该教学理念，新课标实验教材（人教A版数学必修1）在安排学生系统学习了指数函数、对数函数、幂函数这些基本初等函数之后，特别将《函数的应用》独立成一章的内容，通过一些实例让学生感受函数的广泛应用，体会数学学习的价值所在.《函数模型及其应用》是这一章的核心内容，是数学与生活相互衔接的枢纽．而“函数模型的应用实例”是上一节内容“几类不同增长的函数模型”的自然延续，让学生对数学知识的理解由抽象晦涩的式子走向直观鲜活的应用．本部分内容设置了四个例题，分别是行程问题、增长率问题、销售问题和体重问题，这几个例题在知识能力要求上又步步递进，越来越贴近生活实际：利用给定的函数模型解决问题（例4）；建立确定性的函数模型解决问题（例3、例5）；建立拟合函数模型解决实际问题（例6）．本部分内容课标要求两个课时完成，而本节课选取的是第二课时．通过教材中例题6的学习，要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择适当的函数模型来解决实际问题．该例题既能体现函数的作用，也让学生经历了把数学知识应用于生活实际的建模过程，既强化了学生应用数学的意识，也提高了学生应用数学的能力，增强了学生的数学素养．同时，该节课的内容为以后学生学习必修3的《线性相关关系》和选修部分的《回归分析》做了很好的铺垫．【教学目标设置】　　根据课程标准的要求并结合本节课的内容和高一学生已具备的知识、能力和心理特点，确定本节课的教学目标为：（1）能根据图表数据进行简单分析，能选择适当的函数模型解决实际问题；（2）通过将实际问题转化为数学问题的过程，掌握数学建模的基本步骤．（3）通过解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到数学知识对实际问题的指导作用，体会数学的应用价值．【学生学情分析】高一学生通过数学必修１ 前两章的学习，已经理解了函数的概念，掌握了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的图象和性质，对函数知识有了初步的应用能力．通过第三章的学习，学生了解了不同类型的函数的增长差异，这为本节课的学习奠定了知识基础．但是学生的思维尚处于由直观感知到抽象分析的过渡阶段，数形结合和应用数学的意识不强．同时，运用数学知识解决实际问题，需要有一定的阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换等数学能力，而高一的学生数学能力较弱，往往不能深刻理解题意，不善于将实际问题抽象为一个数学问题来解决．因此，在教学中要引导学生进行数据分析，建立适当的模型并对模型进行简单的分析．【教学策略分析】根据本节课的内容和学生的情况，确定本节课的重点和难点：教学重点：（1）分析表格数据，建立适当的函数模型；（2）利用函数模型解决实际问题；教学难点：（1）根据表格数据如何选择适当的函数模型；（2）对不同的模型的优劣进行简单分析．　　　教学准备：教材中的例题6旨在结合生活中的实际问题，体现数学的应用价值，因此数据多且复杂。如果不借助于计算机和图形计算器，难以发现数据背后所隐藏的规律，也难以完成本题的计算．如果按教材那样选择两组数据求出函数解析式的方式处理，将无法得到让学生信服和满意的函数模型，也限制了学生的思维发展．而图形计算器可以很好的解决上述问题，给学生的自主探索提供可能，能大大激发学生的学习兴趣和求知的欲望．因此上课之前要求学生会使用图形计算器进行简单的数据分析、计算和拟合．【教学流程框图】 感受数学与实际生活的关系情境设置引出课题分别从数与形两个角度分析采集的数据分析数据直观认识利用图形计算器建立合适的函数模型操作实验建立模型利用数学模型解决实际问题利用模型指导预测不同的数学模型优劣对比分析对比完善认知提升用数学的意识和能力学以致用形成能力培养学生数学建模的思想反思过程总结规律【教学过程】 教学时间教学内容教师活动学生活动教学评价21.设置情境提出课题站在能测量身高和体重的电子体重计上，体重计会根据个人情况提示“较胖”或者“较瘦”.思考：体重计是根据什么判断一个人较胖或者较瘦的？思考：这些问题是依据什么进行决策和判断的？从学生的回答判断学生应用数学的意识和能力132.分析数据直观认识例6.某地区不同身高的未成年男性的体重的平均值如下表：身高60708090体重6.137.909.9912.15身高100110120130体重15.0217.5020.9226.86身高140150160170体重31.1138.8547.2555.05（1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它们能分别近似的反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试求出函数解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？思考：(1)观察表格数据你有什么发现？(2)画出相应的散点图；(3)观察所作散点图，你认为它与以前所学过的什么函数的图象比较接近？(4)你认为选择什么函数来描述体重与身高的关系比较合适？预设：根据散点的分布特征，学生可能提出不同的拟合函数：二次函数，指数型函数等等(1)数形结合的能力(2)对数据的分析处理能力(3)用函数的思想意识 153.操作实验建立模型【任务1】请以身高的值为x，以体重值为y利用图形计算器画散点图【任务2】利用图形计算器求解你选择的函数模型：第一种：二次函数第二组：指数型函数【注】若学生还有其他的想法，鼓励他们利用图形计算器进行尝试.每个小组选择一个函数模型，利用计算器求解函数解析式，观察散点与函数图象的拟合效果.(1)图形计算器的操作能力(2)对函数概念的理解(3)对实际问题的处理能力(4)接受不确定性和答案的不惟一性 103.分析对比完善认知【任务3】若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？【问题】哪个函数的拟合效果更好呢？【任务4】对于下表中的每一个身高值，根据你选取的拟合函数计算其对应的平均体重预测值，并计算每一对预测值与实际值的偏差身高60708090体重6.137.909.9912.15身高100110120130体重15.0217.5020.9226.86身高140150160170体重31.1138.8547.2555.05（1）根据建立的函数模型进行预测；（2）从形和数两个角度对不同模型的优劣进行简单的分析.(1)对题目的阅读理解能力(2)数据分析能力34.学以致用形成能力车速/（km/h）1015304050停车距离/m47121825车速/（km/h）60708090100停车距离/m3443546680某种车的车速与刹车后的停车距离（简称“刹车距离”）如下表：（1）建立恰当的函数模型使它能近似的反映车速与刹车距离之间的关系；（2）预测当车速为110km/h时的刹车距离；（3）在一起交通事故中，事故车的刹车距离为120m，试估计刹车前的车速。思考：（1）如何分析数据？（2）从中能得出什么结论？应用能力 23.反思过程总结规律（1）通过比较、概括上述两个实例的求解过程，引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程如右图:（2）学生能对建立的函数模型进行简单的分析将解决问题的过程步骤化，算法化总结概括【教案说明】《函数模型的应用实例》这节内容包含三个方面：利用给定的函数模型解决问题，建立确定性的函数模型解决问题和建立拟合函数模型解决问题.在现实生活中，有很多现象涉及到两个变量之间的关系，又因为现实问题的复杂性，变量的变化规律往往受多种因素的影响，因此，实际问题多数需要建立拟合函数模型来近似处理．所以，本节课的内容对于刚进入高中阶段数学学习的高一同学来说，是认识数学的应用价值的绝佳的载体．为了让学生更好的认识数学问题来源于实践，同时提升数学的应用数学的能力，本节课的内容是对教材例题做了大胆的改造，将课本上直接呈现的数据改成由学生去调查采集数据．在这一过程中感受数学的作用和提升用数学的能力，同时也激发他们学习的兴趣和主动性．由于数据繁多复杂，不好处理，因此本节课充分利用技术的优势，利用图形计算器方便的完成拟合函数的计算，并可以尽可能发挥学生的主观能动性，对函数模型作深入的探究和分析．利用图形计算器，学生可以很容易的求解拟合函数，并且可以选择多种函数还进行拟合，这显示了在学习过程中手持技术的强大力量.但技术总归是技术，它无法代替结果背后所蕴含的对于我们来说更重要的思维活动，它无法代替我们对数学知识本身的理解和学习．因此，在课堂上我专门设置一些问题供同学们思考探究，指导学生比较不同模型的优劣，并引导学生去思考图形计算器是依据什么标准给我们计算出拟合函数，使得学生在感受到技术的力量的同时，也能认识到数学知识对技术的指导作用． 《函数模型应用实例》点评本节课教学目标明确，重难点把握准确，利用这一节课让学生初步掌握了建立拟合函数模型的方法、步骤，体会到了数学建模的意义和数学的应用价值。在教学过程突出了“以学生为主体”的教学理念，引导学生自主学习、探究性学习，有利于培养学生的数学能力，提高学生的数学素养。本节内容的例题数据多且复杂，如果不借助于图形计算器，很难完成这一节课的教学任务。而授课老师在适当的时候应用了图形计算器，既体现了信息技术对教学的辅助作用，实现了课程的整合，也让学生的思维活动在技术的支持下得以自由发展，激发学生的学习兴趣。如果老师在授课过程中再放手一些，给学生以更大的空间，让他们更多的独立思考、自主探究就更好。