3.2函数模型及其应用【课题】：3.2.2函数模型的应用实例【设计与执教者】：广州市第三中学黄盛huangshenglaoshi@163.com【教学目标】：（1）知识与技能：1.能利用给定函数模型解决实际问题.2.通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合.3.增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力.（2）过程与方法：1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型.2.根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.（3）情感态度与价值观：应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务.【教学重点】：根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.【教学难点】：是如何将实际问题转化为数学问题，恰当地选择数学模型，将文字语言转化为数学语言。【课前准备】：多媒体课件、投影仪、计数器.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情景师：我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》（板书）主要通过一些实例让我们来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.提出实际情境，引发学生思考二、组织【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图所示.
探究（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.师：先用投影仪投影出图一（将原图中的阴影部分隐去），分析这张图可以得到的是一个速度关于时间变化的图象，说明了速度与时间之间的什么关系？生：汽车在第1小时内以50km/h的速度匀速行驶；汽车在第2小时内以80km/h的速度匀速行驶；汽车在第3小时内以90km/h的速度匀速行驶；汽车在第4小时内以75km/h的速度匀速行驶；汽车在第5小时内以65km/h的速度匀速行驶.师：再用投影仪投影图二，（给出一个阴影矩形的面积，通过分析，让学生理解它的意义；我们知道这个阴影部分的面积（S=速度×时间）为50，它表示的是汽车在第1小时内行驶的路程为50km.以此我们可以得出第2、3、4、5个阴影部分的面积分别为80、90、75、65，它们分别表示的是汽车在第2、3、4、5小时内行驶的路程.因此，整个阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程之和为360km.对于第2个问题，通过对图形的分析，可以看出：汽车在第1小时内以50km/h的速度匀速行驶；所以其行驶的路程与时间的函数关系是s′=50t（0≤t＜1）.因此第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=s′+2004=50t+2004（0≤t＜1）.第2小时，该汽车以80km的速度匀速行驶.因此第2小时内，汽车行驶的路程与时间的函数关系为s′=50+80（t－1）（1≤t＜2）.第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=s′+2054=80（t－1）+2054（1≤t＜2）.以此类推，（让学生自主完成）可以得出50t+2004，0≤t＜1，80（t－1）+2054，1≤t＜2，90（t－2）+2134，2≤t＜3，75（t－3）+2224，3≤t＜4，65（t－4）+2299，4≤t≤5.s=例1所涉及的数学模型是确定的，关键在于利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，让学生学会如何用函数模型来刻画实际问题.这里我们得到的是一个分段函数的模型，让学生注意分段函数的表示方法，及其定义域.学时探究：你能根据图一，作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？（1）首先获得路程关于时间变化的函数解析式介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法．例1注意培养学生的读图能力，让学生理解图象是函数对应关系
50t，0≤t＜1，80（t－1）+50，1≤t＜2，90（t－2）+130，2≤t＜3，75（t－3）+220，3≤t＜4，65（t－4）+295，4≤t≤5.s=（2）根据上面的函数解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象，其实这个图象就是将图二向下平移了2004个单位.组织探究【例2】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国人口达到13亿？并根据所得结论，总结说明了什么问题.分析：这里要我们去验证问题中的数据与所提供的函数模型是否吻合，然后再利用函数模型解释实际问题，并利用模型进行预测.这里的函数模型y=y0ert是指数型函数模型，它由y0与r两个参数决定，实际上，y0就是1950年的人数，r是指各年的人口增长率的平均值，比较容易求得.解：（1）设1950～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196（1+r1）=56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=（r1+r2+…+r9）÷9≈0.0221.由y0=55196可得我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t（t∈N）.（请同学们利用计数器作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象，再根据表中1950～1959年人口数据，作出散点图（如下图），并进行比较，得出相应的结论）引导学生分析例题，培养学生的读图分析已知数据等诸多方面的能力．
由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.（2）师：根据所得函数模型y=55196e0.0221t（t∈N）预测我国人口大约在哪一年达到13亿，实际上是通过一个对数式55196e0.0221t=130000来确定t的近似值.请同学们利用计数器进行计算：即t=（ln130000－ln55196）≈38.76.因此如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口数就已达到13亿，由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.组织探究【例3】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示.销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？师：根据上表，我们发现，表中的数据具有很强的规律性，具体体现在哪里.这张表反映了销售单价与日均销售量的什么关系？获得的利润指的是什么？生：当销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，获得利润=日均销售利润－日固定成本（200）.解：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量就为480－40（x－1）=520－40x（桶）.（在实际问题中应注意变量的变化范围）由x＞0，且520－40x＞00＜x＜13.所以y=（520－40x）x－200=－40x2+520x－200（0＜x＜1）.易知当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.从例3中的数据可以看出它的变化是很有规律性的，它体现的是一种理想状态下的数据，对于这类问题抽象出函数模型比较容易，而且列出的函数模型应该是固定的，但是在现实生活中，一般都是通过实际测量所得数据解决实际问题，它的规律一般不是很明显，我们必须通过计算器加以解决.【例4】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？分析：这里只给了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.师：请同学们根据这些数据画出散点图，再进行观察和思考，所作的散点图与已知的哪一个函数图象最接近，从而选择函数模型.通过散点图，发现指数型函数y=a·bx的图象可能与散点图的吻合较好，而函数y=a·bx中只有两个待定参数a、b，故只需选取两组数据就能求出a、b的值.但是这里共有12组数据，是否任取两组数据，得到的a、b的值相同呢？将学生分成8组，分别给予两组数据计算a、b的值，通过计算器看计算a、b的结果是否相同，再同散点图进行比较是否吻合，从中选出最接近的函数模型.课堂上先选取（60，6.13）、（70，7.90）这两组数据，可以用计算器得出a=1.338，b=1.026从而函数的解析式为y=1.338×1.026x，同时画出这个函数图象与散点图，我们发现，函数y=1.338×1.026x不能很好地反映该地区未成年人体重与身高的关系.课后请同学们自己选择两组数据进行研究，直至得到自己较为满意的函数的模型.在教科书上选取的是（70，7.90），（160，47.25）两组数据，计算出a≈2，b≈1.02.从而得到函数模型y=2×1.02x，同时画出这个函数图象与散点图.我们发现，散点图上的点基本上在或接近函数y=2×1.02x的图象，所以函数y=2×1.02x能较好地刻画该地区未成年人体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x，得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2.所以这个男生偏胖.从例2我们可以看出从实际测量所得的数据抽象出函数模型的应用问题比较困难，尤其要注意如何选择更精确的数学模型，如果能很好地运用计算器的的拟合功能，那么获得的函数模型更精确.从以上例题我们可以得到：根据收集到的数据建立函数模型，解决实际问题的基本过程.三、课堂练习1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿，而2003年世界人口还没有达到72亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？四、课堂小结利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）所确定的函数模型进行适当的分析和评价；3）据实际问题对模型进行适当的选择；4）根据收集到的数据，可作出一些离散的点，然后通过观察图象来选择适当的函数模型，并用计算机功能来处理。5）利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程．
6）图象、表格和解析式都不能是函数对应关系的表现形式．在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种式转化．结合有关问题，谈谈函数对应关系的表现形式在转化时的注意事项五、布置作业1．以v0m/s的速度竖直向上运动的物体，ts后的高度hm满足h=v0t－4.9t2，速度vm/s满足v=v0－9.8t.现以75m/s的速度向上发射一发子弹，问子弹保持在100m以上高度的时间是多少秒？在此过程中，子弹速度的范围是多少？2．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.（1）分别求出总成本y1、单位成本y2、销售总收入y3、总利润y4与总产量x的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析.3．某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a、b、c、p、q、r都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？4．课本P120页习题3.2B组第2题.深化函数建模的构建和求解。练习与测试： 1．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4％，那么经过工年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致为图中的（ ） 解析：y＝（1＋0.104％）x，如图D． 答案：D 2．化学上常用pH来表示溶液酸碱性的强弱，pH＝－1g｛c（H＋）｝，其中f（H＋）表示溶液中H＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c（H＋）＝1×10－5mol/L，则这杯胡萝卜汁的pH是（ ） A．2B．3C．4D．5 答案：D 3．邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____． 答案：f（x）＝
4.设在离海平面高度xm处的大气压是ymm水银柱高，y与x的函数关系是y=cekx，这里c、k都是常量.已知某地某天在海平面与1000m高空的大气压强分别是760mm及675mm水银柱高，（1）求在600m高空的大气压强；（2）求大气压强是720mm水银柱高处的高度.（结果都保留3个有效数字）解答：将x=0，y=760；x=1000，y=675.分别代入函数式y=cekx，得所以所以y=760e－1.186×10x.当x=600时，y=707.795；当x=720时，y=697.792.故在600m高空大气压约为708mm水银柱高，在720m高空大气压约为698mm水银柱高.5.不打开降落伞，跳伞运动员离开飞机后，第1s下落约5m，第2s下落约15m，第3s下落约25m，如果跳伞运动员从离地面1800m的高空跳伞，并准备在距地面200m时打开降落伞，那么跳伞运动员应在离开飞机多少秒后打开降落伞?（精确到0.1s）解：运动员在离开飞机xs后下落的距离y为y=5x2.由题意知y=1600，解得x≈17.9.跳伞运动员应在离开飞机后约17.9s时打开降落伞.6．我国水资源相对贫乏，某市节水方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量pm3时，只付基本费8元和每户每月定额损耗费q元；若用水量超过pm3时，除了付上述的基本费和损耗外，超过部分每m3付r元的超额费，已知每户每月的定额损耗不超过5元，该市一家庭某季度的用水量支付如下表：月份用水量（m3）水费（元）1992151932233 （1）写出水费y（元）与用水量x（m3）的函数关系式（这里的p，q，r可作为已知数）； （2）根据数据表，求p，q，r的值． 解：（1）设水费为y（元），用水量为x（m3），则得分段函数 （2）根据表中数据，可列式8＋q＝9，q＝1，若8＋q＝19，q＝11与q≤5矛盾．
故∴r＝2．
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