函数模型及其应用

第课函数模型及其应用体育中心江超【教学目标】一、知识目标1、通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2、了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用．二、能力目标结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．三、情感目标体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．【教学重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．【教学难点】怎样选择数学模型分析解决实际问题．【知识点梳理】一、几类常见的函数模型（1）一次函数模型：f(x)＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）；（2）反比例函数模型：f(x)＝＋b（k、b为常数，k≠0）；（3）二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）；（4）指数函数模型：f(x)＝abx＋c（a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1）；（5）对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n（m、n、a为常数，a>0，a≠1）；（6）幂函数模型：f(x)＝axn＋b（a、b、n为常数，a≠0，n≠1）；（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．二、通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：（1）收集数据；（2）根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；（3）根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；（4）选择其中的几组数据求出函数模型；18/18 （5）将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤(3)、(4)、(5)；若符合实际，则进入下一步；（6）用求得的函数模型去解决实际问题．【典型例题】题型一、函数图象变化规律例题1：（2008年全国）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）stOA．stOstOstOB．C．D．【答案】选A【点评】体会将生活实际问题转化为函数模型，用函数图象来描述变化规律．例题2：如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）【解析】选C；A、B、D的面积都是随着t的增大而增长的速度越来越快，到t＝时，增长的速度又减慢，而C图则从t＝开始匀速增大与f(t)不符．【点评】本题关键抓住t每增加单位长度，面积的增量的变化大小．变式1：（2007年广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）18/18 A．B．C．D．【解析】C；将实际问题转化为为一次函数模型．变式2：某地一年内的气温（单位：℃）与时刻（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃．令C(t)表示的时间段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）【解析】选A；由图可以发现当t=6时，C(t)=0，排除C；t=12时，C(t)=10，排除D；t在大于6的某一段气温超于10，所以排除B，故选A．题型二、分段函数模型的应用例题3：某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t,P），点（t,P）落在图中的两条线段上．该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示：第t天4101622Q（万股）36302418（1）根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？【解析】（1）设表示前20天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为P＝k1t＋m，由图象得，解得，即P＝t＋2；设表示第20天至第30天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为P＝k2t＋n，18/18 由图象得，解得，即P＝－t＋8.综上知P＝（t∈N）．（2）由表知，日交易量Q与时间t满足一次函数关系式，设Q＝at＋b（a、b为常数），将（4,36）与（10,30）的坐标代入，得，解得．所以日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q＝40－t（0≤t≤30且t∈N）．（3）由（1）（2）可得y＝（t∈N）．即y＝（t∈N）．当0≤t120，∴第15天日交易额最大，最大值为125万元．【点评】分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型，这是由分段函数特点决定的．由于分段函数兼具多种初等函数的性质，因此可以将多种函数的性质考查到，这在要求能力的高考命题中无疑是重要的命题素材．变式3：（2000年全国）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图中（2）的抛物线表示．（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?【解析】（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f(t)＝由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为18/18 g(t)＝(t－150)2＋100，0≤t≤300．（2）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝当0≤t≤200时，配方整理得h(t)＝－(t－50)2＋100，所以，当t＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h(t)＝－(t－350)2＋100，所以，当t＝300时，h(t)取得区间（200，300］上的最大值87.5．综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．题型三、指数、对数型函数及幂函数模型的应用例题4：三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：x1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40其中x呈对数函数型变化的变量是，呈指数函数型变化的变量是，呈幂函数型变化的变量是．【答案】y3，y2，y1．【点评】由表格数据增长趋势，体会指数爆炸、对数增长、幂函数增长的不同函数类型增长速度．例题5：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）【解析】每次过滤杂质含量降为原来的，过滤n次后杂质含量为·n，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型．依题意，得·n≤，即n≤.18/18 则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．【点评】一般地，形如y＝ax（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数y＝b·ax＋k作为模型的应用问题很常见，称这类函数为指数函数模型．以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关，在现实生活和科学技术领域，诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳－14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型．变式4：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭（除燃料外）的质量m(kg)的关系v＝2000ln．当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s？【解析】由12000＝2000ln，即6＝ln，1＋＝e6，利用计算器算得≈402．即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s．变式5：能使不等式log2x，故至少要售出234张门票，能使游乐场每天的盈利额超过1000元．6．【解析】设该养殖户能从政府手中得到的补助为y元，猪舍的长为米，∴y＝200×5＋200×8＋×10＋4x×5＝40＋2600（5≤x≤a）．易得函数f(x)＝x＋在[5,10）上单调递减，在[10，＋∞）上单调递增，∴当5≤a20，猪舍的宽定为a米，该养殖户能从政府得到最多的补助是元．7．【解析】设现单产为a，人口为R，耕地每年减少x公顷∴现有人均粮食占有量为10年后人均粮食占有量为根据题意得，解得：x≈4．答：耕地面积平均每年减少4公顷．18/18 8．【解析】（1）y1=50+0.4x；y2=0.6x.（2）令y1=y2，则x=250分钟，即一个月内通话250分钟，两种通讯方式的费用相同.（3）令y1=200，则x1=375；令y2=200，则x2=．即采用第一种通讯方式200元可通话375分钟，采用第二种通讯方式200元可通话分钟，∴采用第一种通讯方式较合算．9．【解析】设月租金为3000＋元，收益为元，则＝－＝－，∴当＝1050元时，即月租金4050元时收益最大，最大值为307050元．10．【解析】（1）设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c．由关系表，得，解得．∴ 函数的解析式为y＝－x2＋x+1．（2）根据题意，得．（3），∵1≤x≤3，∴1≤x≤2.5时S随x的增大而增大．故当年广告费为10~25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．11．【解析】设总利润为元，则y=R–100Q–20000==．当Q>400时，y是减函数，y