高一数学柱、锥、台、球的结构特征

第一课时柱体、锥体、台体的表面积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3．情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.（二）教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.难点：展开图与空间几何体的转化.（三）教学方法学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？A′D′C′BCAB′D学生先思考讨论，然后回答.学生：将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图A′A则即所求.师：(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积.情境生动，激发热情教师顺势带出主题. 探索新知1．空间多面体的展开图与表面积的计算.（1）探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.（2）已知棱长为a，各面均为等边三角形S–ABC(图1.3—2)，求它的表面积.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC=a，∴.∴四面体S–ABC的表面积.师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？生：相等.师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.师：（肯定）棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？……生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.生：由于四面体S–ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.学生分析，教师板书解答过程.让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.推而广之，培养探索意识会 探索新知2．圆柱、圆锥、圆台的表面积（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导S圆柱=2r(r+1)S圆锥=r(r+1)S圆台=(r12+r2+r1l+rl)（2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系S圆台=(r12+r2+rl+r′l)S圆柱=2r(r+l)S圆锥=r(r+l)r=0r=1（3）例题分析例2如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积≈1000(cm2)=0.1(m2).涂100个花盆需油漆：0.1×100×100=1000(毫升).答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？师：打出投影片（教材图1.3.3和图1.3—4）生1：圆柱的底面积为，侧面面积为，因此，圆柱的表面积：生2：圆锥的底面积为，侧面积为，因此，圆锥的表面积：师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧=所以它的表面积为现在请大家研究这三个表面积公式的关系.学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.师：下面我们共同解决一个实际问题.（师放投影片，并读题）师：本题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积.让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题. 生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书) 随堂练习1．练习圆锥的表面积为acm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形.电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）答案：1．m；2．1.74千克.学生独立完成归纳总结1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系.学生总结，老师补充、完善作业1.3第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD=c，AC=d，则由（1）得，由（2）得，代入（3）得，∴，∴.∴S侧=. 例2一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.设底面边长为a，则，∴a=4.∴正三棱柱的表面积为S=S侧+2S底=3×4×2+2×(mm2).例3有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm）【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.由题意知，BC=10cm，AB=2cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.∴AC=(cm).所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题.探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题.空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.图4—3—2例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm.计算制造这一下料斗所需铁板是多少？【分析】问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，EE1== ∵边数n=4，两底边长a=440，a′=80，斜高h′=269.∴S正棱台侧==（mm2）答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.