高中数学必修二学案 柱、锥、台、球的结构特征

§1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、课前准备（预习教材P2~P4，找出疑惑之处）引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧!二、基础探究1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？图12.【研读课本】（1）多面体的概念：叫多面体，叫多面体的面，叫多面体的棱，叫多面体的顶点。①棱柱:两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，，叫作棱台。（2）旋转体的概念：叫旋转体，叫旋转体的轴。①圆柱：所围成的 几何体叫做圆柱.②圆锥：所围成的几何体叫做圆锥.③圆台：的部分叫圆台.④球的定义三、能力探究例1．（1）如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A.（1）是棱台B.（2）是圆台C.（3）是棱锥D.（4）不是棱柱（2）下列说法错误的是（）A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形（3）下列命题中正确的是（）A.棱台各侧棱的延长线交于一点B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径（4）下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱.其中正确的有__________个.（）A.1B.2C.3D.4（5）下列说法中不正确的是（）A棱与侧棱是同一概念B三棱锥与四面体是同一概念C四棱柱有4条体对角线D存在这样的棱锥，它的各个面都是直角三角形（6）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为______cm.例2有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？如果不是，请举例说明。例3．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？如果不是，请举例说明。 四、课堂练习1、下列几何体是棱柱的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个2、下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱.其中正确的有__________个.（）A.1B.2C.3D.43、下列命题中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点4、下列命题中正确的是（）A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径§1.2.1中心投影与平行投影§1.2.2空间几何体的三视图一、复习提问1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着________、_______绕着___________、_______绕着__________、_______绕着_______旋转得到的.2：简单组合体构成的方式：________________和_____________________________________.二、基础探究1、如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得的?图1 2、通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?3、请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？图24、图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？5、阅读课本回答下面问题：（1）、空间几何体的三视图是指、、。（2）、正视图、侧视图、俯视图分别是从、、观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。（3）、正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的和；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的和.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的和；（4）、三视图的排列规则是放在正视图的下方，它们的一样；放在正视图右边，它们的一样；侧视图和俯视图的一样。三、能力探究例1画出下列物体的三视图：例2说出下列三视图表示的几何体：例3作出下图中两个物体的三视图 四、课堂练习1.下列哪种光源的照射是平行投影（）.A.蜡烛B.正午太阳C.路灯D.电灯泡2.右边是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）.A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台3.如图是个六棱柱,其三视图为（）.A.B.C.D.4、根据下面的三视图,画出相应空间图形的直观图.主视图左视图俯视图，§1.2.3空间几何体的直观图一、复习提问1、中心投影的投影线_________；平行投影的投影线_____.平行投影又分___投影和___投影.2、物体在正投影下的三视图是_____、______、_____；3、画三视图的要点是_____、、______.二、基础探究水平放置的平面图形的直观图画法问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效果表示出来呢?斜二测画法的规则及步骤如下：(1)在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的轴和轴，建立直角坐标系，两轴相交于.画直观图时,把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使°(或°).它们确定的平面表示水平面；(2)已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段； (3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半；(4)图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）.三、能力探究例1．如下说法不正确的有A．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等B．若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直C．画与直角坐标系对应的时，必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同例2．用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图。例3．用斜二侧画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图。四、课堂练习1.一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（）.A.4、8、4B.4、4、4C.2、4、4D.2、4、22.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（）.A.①②B.①C.③④D.①②③④3.一个三角形的直观图是腰长为的等腰直角三角形，则它的原面积是（）.A.8B.16C.D.324.下图是一个几何体的三视图请画出它的图形为_____________________.5.等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=，下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图的面积为________.§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、复习提问斜二测画法画的直观图中，轴与轴的夹角为____，在原图中平行于轴或轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于轴的线段长度保持_____，平行于轴的线段长度____________.二、基础探究（一）柱体，锥体和台体的表面积问题1：棱柱，棱锥，棱台也是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？问题2：如何根据圆柱，圆锥的几何特征，求它们的表面积？问题3：联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台展开图的形状，并画出它吗？如果圆台的上下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？（二）柱体，锥体，台体的体积提出问题:在初中，我们学过正方体，长方体和圆柱的体积公式，你还记得吗？问题1：你能从它们的体积公式出发，猜想出一般柱体的体积公式吗？问题2：通过多媒体展示，请学生猜测等底，等高的三棱柱与三棱锥的体积之间的关系问题3：推广到一般的棱锥和圆锥，你能猜想出锥体的体积公式吗？问题4：根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？问题5：柱，锥，台三者的体积公式之间有什么关系？三、能力探究例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积。例2如图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长为15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器） 例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm3）六角螺帽（如图）共重5.8kg,已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）四、课堂练习1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）A.B.64C.16D.962.）如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（）A.B.C.D. 4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；§2.1.1平面一、复习提问平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、基础探究1.几何里的平面是无限延展的，我们通常把水平的平面画成一个平行四边形。2.常用符号的记法：（1）点A在平面α内，记作；点B在平面α外，记作。（2）点P在直线上，记作；点P在直线外，记作。（3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作。3.公理1:如果_一条直线上的两点在一个平面内__，那么这条直线在此平面内。用符号表示为____________________，图形为________________,其作用是证明直线在平面内。4.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。图形为_________________________，其作用是确定平面。推论1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2.经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3.经过两条平行直线,有且只有一个平面.5.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。用符号表示为_________________________，图形为___________________，其作用是做两个平面的交线。三、能力探究例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。PαβlabαβABal变式迁移1：用符号表示下列语句，并画出相应的图形。（1）点A在平面内，但点B在平面外；（2）直线a经过平面外的一点M；（3）直线a既在平面内，又在平面。[来源:学,科,网]例2下列命题正确的是()A．画一个平面，使它的长为14cm，宽为5cm B．一个平面的面积可以是16C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分D．10个平面重叠起来，要比2个平面重叠起来厚例3下列命题正确的是()A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面例4判断下列命题是否正确A．平面与平面相交，它们只有有限个公共点。()B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（）C．经过两条相交直线，有且只有一个平面（）D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（）四、课堂练习1．空间中ABCDE五点中，ABCD在同一平面内，BCDE在同一平面内，那么这五点（）A共面B不一定共面C不共面D以上都不对2.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（　　）Ａ．异面直线Ｂ．相交直线Ｃ．不相交直线Ｄ．不平行直线3.三条直线相交于一点，可能确定的平面有（　　）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个或个4．直线，在上取点，上取点，由这点能确定的平面有（　　）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个5．给出下列命题：和直线都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．已知下列四个命题：①很平的桌面是一个平面；②一个平面的面积可以是m；③平面是矩形或平行四边形；④两个平面叠在一起比一个平面厚．其中正确的命题有（　　）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个7.解答题：已知正方体中，，分别为，的中点，，．求证：（１），，，四点共面； （２）若交平面于点，则，，三点共线．§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、复习提问1、点与平面的位置关系：点A在平面上记作：点A在平面外记作：2、直线与平面的位置关系：直线l在平面上（平面经过直线l）记作：直线l在平面外记作：3、公理1：符号表示为：公理2：推论1：符号表示为：推论2：符号表示为：推论3：符号表示为：公理3：符号表示为：二、基础探究1.异面直线的概念及作法；2.公理4；3.空间角定理；4.异面直线所成角的定义及取值范围；5.空间直线平行或垂直的表示方法；三、能力探究例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB,BC,CD,DA的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形；例2：如图，已知正方体ABCD-A`B`C`D`，（1）那些棱所在直线与直线BA`是异面直线？（2）直线BA`和CC`的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA`垂直？变式练习2：如图，已知长方体中，，，．（１）和所成的角是多少度？（２）和所成的角是多少度？四、课堂练习1.若，是异面直线，，也是异面直线，则与的位置关系是（　　）Ａ．异面Ｂ．相交或平行Ｃ．平行或异面Ｄ．相交或平行或异面如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中[来源:学,科,网]①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（　　）Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④。2.，是异面直线，，是上两点，，是上的两点，，分别是线段 和的中点，则和的位置关系是（　　）Ａ．异面直线Ｂ．平行直线Ｃ．相交直线Ｄ．平行、相交或异面3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.翰林汇翰林汇§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系§2.1.4平面与平面之间的位置关系一、复习提问1：空间任意两条直线的位置关系有_______、_______、_______三种.2：异面直线是指________________________的两条直线,它们的夹角可以通过______________的方式作出,其范围是___________.3：平行公理：__________________________________________；空间等角定理：___________________________________.二、基础探究探究1：空间直线与平面的位置关系观察：如图3-1,直线与长方体的六个面有几种位置关系?图3-11：直线与平面位置关系只有三种：⑴直线在平面内——⑵直线与平面相交——⑶直线与平面平行——其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.探究2：平面与平面的位置关系观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?图3-22：两个平面的位置关系只有两种：⑴两个平面平行——没有公共点⑵两个平面相交——有一条公共直线 三、能力探究例1下列命题中正确的个数是（）⑴若直线L上有无数个点不在平面a内，则L∥a(2)若直线L与平面a平行，则L与平面a内的任意一条直线都平行(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若直线L与平面a平行，则L与平面a内任意一条直线都没有公共点（A）0(B)1(C)2(D)3变式1.已知直线在平面α外，则（）（A）∥α（B）直线与平面α至少有一个公共点（C）（D）直线与平面α至多有一个公共点2.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交D．无数条直线都不相交例2求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内.变式已知平面，直线，且∥,，，则直线与直线具有怎样的位置关系?四、课堂练习1.以下命题（其中，b表示直线，a表示平面）①若∥b，bÌa，则∥a；②若∥a，b∥a，则∥b；③若∥b，b∥a，则∥a；④若∥a，bÌa，则∥b。其中正确命题的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2.已知∥a，b∥a，则直线，b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个3.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是，则直线AB和平面a的位置关系一定是（）（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）ABÌa4.已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥平面b，a∩b=l，则l（）（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交5.下列说法正确的是()A．直线平行于平面M，则平行于M内的任意一条直线 B．直线与平面M相交，则不平行于M内的任意一条直线C．直线不垂直于平面M，则不垂直于M内的任意一条直线D．直线不垂直于平面M，则过的平面不垂直于M6.平面的公共点多于2个，则（）A.可能只有3个公共点B.可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上C.一定有无数个公共点D.除选项A，B，C外还有其他可能7已知直线及平面满足:∥,∥,则直线的位置关系如何?画图表示.8两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.§2.2.2平面与平面平行的判定一、复习提问1：直线与平面平行的判定定理是______________________________________________.2：两个平面的位置关系有___种，分别为_______和_______.二、基础探究探究1：直线与平面平行的背景分析实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边与墙所在的平面位置关系如何？实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？ 结论：探究2：直线与平面平行的判定定理问题：探究两个实例中的直线为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？直线与平面平行的判定定理定理：思考下列问题⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？探究3：两个平面平行的判定定理问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？在长方体中，回答下列问题（1）如下图，,∥面，则面∥面吗？（2）下图6-2，∥，∥，∥，则∥吗？两个平面平行的判定定理：如图所示，∥. 反思：⑴定理的实质是什么?⑵用符号语言把定理表示出来.三、能力探究例1.有一块木料如图5-4所示，为平面内一点，要求过点在平面内作一条直线与平面平行，应该如何画线？例2.如图5-5，空间四边形中，分别是的中点，求证：∥平面.例3.已知正方体，如图，求证：平面∥.四、课堂练习1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有()①lα,mα,且l∥β,m∥β；②lα,mα,且l∥m；③l∥α,m∥β,且l∥mA1个B2个C3个D0个2．下列命题中为真命题的是（）A平行于同一条直线的两个平面平行B垂直于同一条直线的两个平面平行C若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．3．下列命题中正确的是()①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③ 垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行A①②B②③C③④D②③④4．下列命题中正确的是（填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ；5．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是；6.如图，直线，，相交于，，，．求证：平面．§2.2.3直线与平面平行的性质一、复习提问1：两个平面平行的判定定理是__________________________；它的实质是由__________平行推出__________平行.2：直线与平面平行的判定定理是_____________________________________________.二、基础探究探究1：直线与平面平行的性质定理问题1：如下图，直线与平面平行.请在图中的平面内画出一条和直线平行的直线.问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么?)，请在上图中把直线确定的平面画出来，并且表示为.问题3：在你画出的图中，平面是经过直线的平面，显然它和平面是相交的，并且直线是这两个平面的交线，而直线和又是平行的.因此，你能得到什么结论?请把它用符号语言写在下面.问题4：在图2中过直线再画另外一个平面与平面相交，交线为.直线,平行吗?和你上面得出的结论相符吗?你能不能从理论上加以证明呢? 图2直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.探究2：平面与平面平行的性质定理问题1：如图3，平面和平面平行，.请在图中的平面内画一条直线和平行.图3问题2：在图3中，把平行直线所确定的平面作出来，并且表示为.问题3：在你所画的图中，平面和平面、是相交平面，直线分别是和、的交线，并且它们是平行的.根据以上的论述，你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下面.问题4：在图4中，任意再作一个平面与都相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得出的结论相符吗？你能从理论上证明吗？图4两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.三、能力探究例1.如图所示的一块木料中，棱平行于.⑴要经过内的一点和棱将木料锯开,应怎样画线?⑵所画的线与平面是什么位置关系?例2.如图，已知直线，平面，且∥，∥，都在平面外.求证：∥. 例3．如图，∥，∥，且，，.求证：.四、课堂练习1．如果一个平面内有无数条直线平行与另一平面，那么这两个平面（）A一定平行B一定相交C平行或相交D一定重合2．经过平面外两点可作于该平面平行的平面个数为（）A0B1C0或1D1或23．若一个平面内的两条直线分别平行与另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系（）A一定平行B一定相交C平行或相交D以上都不对4．与平面的距离都是d的点的轨迹是（）A无轨迹B2条平行直线C一条直线D两个平面5．已知一条直线和两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面（）A平行B相交C平行或相交D平行或在平面内7．若直线a//平面，平面//平面，直线a与平面的关系8．已知平面平面=c，a//，a//，则a与c的位置关系9．过正方体ABCD—A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为，则与A1C1的位置关系10．正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB §2.3.1直线与平面垂直的判定一、复习提问1.平面与平面平行的性质及判定2.直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的相互转换二、基础探究探究1：直线和平面垂直的概念问题：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上，观察边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？图10-2结论1：如果直线与平面内的___________都垂直，就说______________，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.如图10-3所示.图10-3思考：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究2：直线与平面垂直的判定定理问题：如图10-4，将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触).观察折痕与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢？图10-4当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如下图所示.图10-5思考：⑴折痕与桌面上的一条直线垂直时，能判断垂直于桌面吗?⑵如图10-5，当折痕时，翻折后,即 .由此你能得出什么结论?结论2：直线和平面垂直的判定定理:______________________________________探究3：直线与平面所成的角定义：如图10-6，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的________，和平面的交点叫_________；，叫做斜线在平面上的_____.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条________________.直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是_____角.三、能力探究例1.如图10-7，已知∥，，求证：.图10-7例2.如图10-8，在正方体中，求直线和平面所成的角.图10-8例3.如图10-9，在三棱锥中，，求证：.图10-9四、课堂练习1.直线和平面内两条直线都垂直，则与平面的位置关系是（）.A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能 2.已知直线和平面，下列错误的是（）.A.B.C.∥或D.∥3.是异面直线,那么经过的所有平面（）.A.只有一个平面与平行B.有无数个平面与平行C.只有一个平面与垂直D.有无数个平面与垂直4.两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.5.若平面∥平面,直线,则与_____.§2.3.2平面与平面垂直的判定一、复习提问1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为__________________________________________.2：⑴什么是直线与平面所成的角?⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.二、基础探究探究1：二面角的有关概念图11-1问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?概念1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角或或.图11-2角二面角图形A边顶点OB边Aβ棱l　B　α定义从 平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线半平面一线（棱）一半平面表示∠AOB二面角α-l-β或α-AB-β问题：二面角的大小怎么确定呢？概念2：如图11-3，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.图11-3思考：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？⑵你觉的二面角的大小范围是多少？⑶二面角平面角的大小和点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究2：平面与平面垂直的判定问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？概念3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，垂直，记作.图11-4问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.思考：定理的实质是什么?三、能力探究例1如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，求证：平面平面.变式1、课本的探究问题 例2如图，在正方体中，求面与面所成二面角的大小（取锐角）.例3、二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面内一点，作于点，再作于，连接，则即为所求平面角.(为什么?)四、课堂练习1.以下四个命题，正确的是（）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2.对于直线,平面,能得出的一个条件是（）.A.B.C.D.3.在正方体中，过的平面与过的平面的位置关系是（）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行4.二面角的大小范围是________________.5.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.6.如图11-8，在正方体中，是棱与的中点，求面与面所成二面角的正切值.（取锐角） 图11-8§2.3.3直线与平面垂直的性质一、复习提问1.二面角的有关概念，二面角的求法；2.两个平面垂直的判定定理及应用.二、基础探究探究1：直线与平面垂直的性质定理问题1：酒店门口竖着三根旗杆，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？问题2：如图12-1，长方体的四条棱、、和与底面是什么关系？它们之间又是什么关系？.图12-1反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？探究2：平面与平面垂直的性质定理问题3：如图12-2，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？图12-2问题4：如图12-3，在长方体中，面与面垂直，是其交线，则直线与关系如何？直线与面呢？图12-3 反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.三、能力探究例1判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.例2如图12-5，四棱锥的底面是个矩形，，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.⑴证明：侧面侧面；⑵求侧棱与底面所成的角.图12-5例3.如图12-6，于点，于点，，，且，求证：∥.图12-6四、课堂练习1.直线b直线，直线b平面，则直线与平面的关系是（）A.∥BC或∥DPHEF2.已知PH⊥Rt△HEF所在的平面，且HE⊥EF，连结PE、PF，则图中直角三角形的个数是（）A1B2C3D43．已知直线、b和平面M、N，且，那么（）（A）b∥Mb⊥（B）b⊥b∥M（C）N⊥M∥N（D） 4.下列结论中，正确的是（　）A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C、若,b异面，过一定可作一个平面与b垂直D、,b异面，过不在,b上的点M，一定可以作一个平面和,b都垂直.5.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,请说明理由6．已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有（）5对6对7对8对7．若三个平面，之间有，，则与（）垂直平行相交以上三种可能都有8．三棱锥中，，点为中点，于点，连，求证：平面平面.