《柱、锥、台和球的体积》教案

《柱、锥、台和球的体积》教案教学目标1、了解柱、锥、台的体积的计算方法。2、了解祖眶原理。3、棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用。教学重难点重点：棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法以及祖砸原理。难点：祖眶原理的理解及棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用。教学过程一、导入1、祖唯原理：祖眶（音geng）,一名祖眶之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504-526年。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献。祖粗的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》。他推导球体积公式的方法非常巧妙。2、祖眶原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个儿何体夹在两个平行平而之间，条件二是用平行于两个平行平而的任何一平而可截得两个平而，条件三是两个截而的而积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.这个原理是非常浅显易懂的，例如取一摞纸张堆放在桌面上，将它们如下图的右图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞纸的体积与变形前3、祖眶提出的“幕势既同，则积不容异”，及“体积Z比等于对应截面积Z比”，在这里是当作公理使用.提法“幕势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”（Cavalierisches,Prinzip）.卡瓦列利［米兰Milan（现意大利城市）人］在他的名著《连续不可分儿何》屮提岀这一原理，这本书岀版于1635年.二、棱柱和圆柱的体积1.柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即V柱体二S・h.设有一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，都等于S,高都等于h, 它们的下底面都在同一平面上.因为它们的上底面和下底面平行，并且高相等，所以它们的上底面都在和下底面平行的同一个平面内•用与底面平行的任意平而去截它们时，所得的截面面积都等于S,根据祖眶原理，它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积，于是我们得到柱体的体积计算公式是V柱体二S・h.•底面半径是R,高为的圆柱体的体枳的计算公式是S圆柱二HR2h.三、棱锥和圆锥的体积1.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S,高是h,那么它的体积是V锥体=^Sh.32.如果圆锥的底面半径是R,高是，则它的体积是V圆锥=—JiR2h.3如何理解锥体体积的推导？在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分为三个三棱锥，这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两Z间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一，在这个过程中一是运用了等积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要灵活运用.四、棱台和圆台的体积LV台体冷（S+府+S"；其中S、S，分别为台体上、下底面面积，h为台体的高.1.V圆台（r2+Rr+R2）h,其中r、R分别为圆台的上、下底面的半径，高为h.五、球的体积V球二討用，其中R为球的半径.柱体、锥体、台体的体积公式间的关系 六、多面体体积的求法多面体体积的常用求法有：1.直接法；2.换底法；3.分割法；4.补体法.七、例子：(1)长方体的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积为】]A・78C・MD・M(2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，在从B点出发的三条棱上分别取其屮点E、F、G,则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的[]A，i•吉C，iD・£(3)如果一个正四面体的体积为9dm3,则其表面积S的值为[]A.VSjiAn1B.C.D.12^(4)如舉一6正三«^律的庭面边长为伉UW张为皿耶么JtG三棱锥的体积是[]A.B.9C.27*2D.A.VI:V2二：1C.VI:V2=4:1(5)设止三棱柱的外接圆柱体体积为U1,内切切圆柱体积为V2,贝H]B.VI:V2=2:1D.VI:V2=8:1八、课后作业 教材练习A、Bo