柱、锥、台和球的体积2

1.1.7空间几何体的体积五莲三中高一数学组1.1.7柱、锥、台和球的体积五莲三中候秀丽 1、了解祖暅原理，可以根据课件演示和生活中的实例体验加深对祖暅原理的理解；2、理解柱、锥、台的体积公式之间的关系及推导方法，体会复杂问题简单化的转化思想；能利用有关公式进行体积计算；3、通过对祖暅原理的学习，了解我国古代数学家作出的突出成就，激发爱国热情，增强学习兴趣。一、学习目标： 二、复习回顾1.正方体的体积公式V正方体=a3(a为棱长)2.长方体的体积公式V长方体=abc(a,b,c分别为长方体长、宽、高)V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高) 思考:(1)取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？(2)两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积关系如何？三、知识探究： 祖暅是祖冲之的儿子，是一位博学多才的数学家.他继承家学，祖暅在数学上的主要成就，就是推算球的体积公式.在方法上根据他父亲提出的原理：“缘幂势既同，则积不容异”。其中幂指截面积，势指高，这一原理也可叙述为：两个等高的立体，若平行于底的截面积相等，则体积相等。这个原理，西方叫卡瓦列里原理，由卡氏于公元1635年在《连续不可分量几何》里提出，但这比祖冲之父子晚1100多年。因而我们将此原理称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当。 （一）祖暅原理：幂势即同，则积不容异夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅原理说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等 ShSS棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积。h1.柱体的体积底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。V柱体=sh（二）、体积公式 牛刀小试1（1）已知正三棱柱的底面边长是2，高是3，求该三棱柱的体积；（2）已知圆柱的轴截面（过轴的截面）是边长为4的正方形，求圆柱的体积； 底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.V锥体=S为底面积,h为高.ss2.锥体的体积动画演示1（二）、体积公式 牛刀小试2（2）已知圆锥的母线长是5，高为4，求这个圆锥的体积。（1）设正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，那么它的体积是多少？ ss/ss/hx3.台体的体积V台体=上下底面积分别是s/,s,高是h，则（二）、体积公式 牛刀小试3已知圆台的上、下底面周长和高分别是，求圆台的体积。 V台体=V柱体=shV锥体=ss/sssS/=0S/=S想一想？上一节中，我们知道正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间有一定的关系。那么，这里柱体、锥体、台体的体积公式之间有没有类似的关系？ 4.球的体积（二）、体积公式 牛刀小试4已知球的表面积是36,求此球的体积。 则它的体积为V=Sh.五.公式应用'例1.如图所示，在长方体ABCD－ABCD中，用截面截下一个棱锥C－ADD，求棱锥C－ADD的体积与剩余部分的体积之比。''''''''设底面ADDA的面积是S，高为h，''解：已知长方体可以看作是直四棱柱ADDA－BCCB。''''所以棱锥C－ADD的体积与剩余部分的体积之比是1：5.''因为棱锥C－ADD的底面面积是S，高是h，'''所以棱锥C－ADD的体积是VC－ADD='''' 变式练习：DABCA'B'C'D'1.如图所示，在长方体ABCD－ABCD中，底面是正方形边长是4，侧棱长是2，求该长方体的体积；'''' 变式练习：思考:2.如图所示，在长方体ABCD－ABCD中，底面是正方形边长是4，侧棱长是2，''''求棱锥C－ADD的体积''你会求三棱锥A－CDD的体积吗？''三棱锥D－CDA的体积呢？'' 解：六角螺帽的体积是一个六棱柱的体积与一个圆柱体积之差，即:答：这堆螺帽大约有250个．五.公式应用所以螺帽的个数为（个）例2.有一堆规格相同的铁制六角螺帽毛坯（铁密度是）共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取）？14.3=p 2.柱、锥、台体的体积锥体台体柱体课堂小结：思想方法方面：数形结合，等价转化，类比法，特殊到一般知识方面：3.球的体积1.祖暅原理 布置作业：层次1：练习A1，练习B1、2层次2：习题A8、9,习题B1、3 谢谢！祝同学们学习进步！ 谢谢同学们，祝你们学习进步！ (1)求棱锥A–ABCD的体积；'变式练习：D'DABCA'B'C'4.如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’D’中，底面是正方形边长是4，侧棱长是2. 变式练习：D'DABCA'B'C'(2)求棱锥A–CDDC的体积'''4.如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’D’中，底面是正方形边长是4，侧棱长是2， 变式练习：(3)求棱锥A–CBBC的体积'''D'DABCA'B'C'4.如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’D’中，底面是正方形边长是4，侧棱长是2， D'DABCA'B'C' 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积.课堂练习8倍 1．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的，则它的体积是原来的（）（A）（B）（C）（D）B六、当堂检测： 2．设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（）（A）6（B）（C）2（D）2B 3.若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（）（A）3倍（B）9倍（C）27倍（D）3倍D 4．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是.5.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长10，则圆台的体积为（）（A）672π（B）224π（C）100π（D）B 1.用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积。2.已知一个铜质的五棱柱底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？3.若一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积．4.一个正四棱台形油槽可以装煤油190升,假如它的上、下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．课堂练习5.钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，那么它的体积增加约几分之几？ 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。思考:(1)取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？(2)两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？ ShSS棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积。h一.柱体的体积底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。V柱体=sh 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.V锥体=S为底面积,h为高.ss二.锥体的体积动画演示1 ss/ss/hx三.台体的体积V台体=上下底面积分别是s/,s,高是h，则 V台体=V柱体=shV锥体=ss/sssS/=0S/=S想一想？上一节中，我们知道正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间有一定的关系。那么，这里柱体、锥体、台体的体积公式之间有没有类似的关系？ 实验:给出如下几何模型RR四.球的体积 步骤１．拿出圆锥和圆柱２．将圆锥倒立放入圆柱 结论:截面面积相等R则两个几何体的体积相等３．取出半球和新的几何体做它们的截面 RRR＝4．球的体积计算公式： 球的体积计算公式：四.球的体积 一.柱体的体积V柱体=sh二.锥体的体积V锥体=三.台体的体积V台体= 3.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长10，则圆台的体积为（）（A）672π（B）224π（C）100π（D）B4.如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’D’中，底面是正方形边长是4，侧棱长是2，（1）求该长方体的体积；D'DABCA'B'C'